Интегрирование рационально функции

[IvanPhys]

Здравствуйте, во всех источниках ,которые я нашел дробь 2 рода записывается $\frac{(Ax+B)}{(x^2+px+q)}$, но почему именно $Ax+B$? Также в задачниках и учебниках рекомендуют дробь раскладывать $\frac{(x+2)}{(x-a)(x^2+px+q)}=\frac{A}{(x-a)}+\frac{(Bx+C)}{(x^2+px+q)}$. Опять же, почему именно $Bx+C$? Можете просто дать какую то подсказку и я попробую сам догадаться

[Pphantom]

Потому что любой многочлен можно разделить на многочлен второго порядка с остатком (степень которого, естественно, меньше двойки, и в общем случае равна единице).

[StaticZero]

Изготовил синтетический пример.

$$ \frac{5 x + 9}{x^2 + 4x - 10} = \frac{5 x + 9}{(x + 2)^2 - 14} = \frac{5}{2} \frac{2 (x + 2)}{(x + 2)^2 - 14} - \frac{1}{(x+2)^2 - 14} = \frac{5}{2} \frac{f'}{f} - \frac{1}{f} $$

где $f \equiv (x+2)^2 - 14$. Первый член справа интегрируется в секунду.

[Someone]

IvanPhys в сообщении #1387935 писал(а):

почему именно $Ax+B$?

IvanPhys в сообщении #1387935 писал(а):

почему именно $Bx+C$?

Вы про что спрашиваете? Почему именно такие буквы? Ну, не нравятся Вам эти буквы, пишите другие. Которые ничем не заняты. Или придумайте какие-нибудь хитрые обозначения. Например, $\Pi_{76}'''x+^{(a_{4^+})}{\tilde u_{41}}$.
Или Вам непонятно, почему букв именно две? Ну, потому что при делении многочлена любой степени на многочлен второй степени обычно в остатке остаётся многочлен первой степени (иногда меньше), а у него два коэффициента.

[IvanPhys]

Someone в сообщении #1387951 писал(а):

IvanPhys в сообщении #1387935 писал(а):

почему именно $Ax+B$?

IvanPhys в сообщении #1387935 писал(а):

почему именно $Bx+C$?

Вы про что спрашиваете? Почему именно такие буквы? Ну, не нравятся Вам эти буквы, пишите другие. Которые ничем не заняты. Или придумайте какие-нибудь хитрые обозначения. Например, $\Pi_{76}'''x+^{(a_{4^+})}{\tilde u_{41}}$.
Или Вам непонятно, почему букв именно две? Ну, потому что при делении многочлена любой степени на многочлен второй степени обычно в остатке остаётся многочлен первой степени (иногда меньше), а у него два коэффициента.

Да, я имел ввиду 2 вариант. Всем спасибо за ответы

-- 16.04.2019, 19:17 --

И еще, есть какая то теорема доказывающая это?

[nnosipov]

IvanPhys в сообщении #1388096 писал(а):

И еще, есть какая то теорема доказывающая это?

Есть, это теорема о разложении рациональной дроби в сумму так называемых простейших рациональных дробей. Эта теорема относится, вообще говоря, к алгебре, но обычно о ней говорят в курсах математического анализа (и потому ее обычно знают в несколько куцем виде --- только для поля вещественных коэффициентов).