исследование аппроксимации

[Tolya]

Необходимо исследовать на аппроксимацию схему Саульева бегущего счёта (для уравнения теплопроводности):
$\frac{U_m^{n}-U_m^{n-1}}{\tau}=\frac{U_{m-1}^n-(U_m^n+U_m^{n-1})-U_{m+1}^{n-1}}{h^2}$
(чётные слои, счёт слева направо).
шаблон:
(m-1,n)-------(m,n)------------------------нечётный слой--
-----------------|------------------------------------------
-----------------X------------------------------------------
-----------------|------------------------------------------
-------------(m,n-1)--------(m+1,n-1)-------чётный слой---

........ что-то для нечётных слоёв, не важно.......исследование аналогичное...

Проблема заключается в следующем.
Если у нас шаблон такой что, приняв одну точку за базовую, мы можем добраться до любой другой за один шаг (по времени или координате), то, раскладывая в ряд Тейлора (относительно базовой точки) функции во всех остальных точках шаблона, получаем что надо быстро и без напрягов. В случае же схемы Саульева, приняв, например, за базовую (m,n), мы функцию U в точке (m+1,n-1) можем разложить только как функцию двух переменных. Так вот, получаются на столько громоздкие формулы, что страшно...
Вобщем, есть ли способ по-быстрее получить нужное или дальше продолжать в этом направлении? В книге говорится, что расскладывайте мол от точки X (см.рис). Я думаю, что там не на столько проще всё будет....

[V.V.]

Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М. Наука, 1971. Стр. 323-324.

или

Трушков В.В. Заметки об уравнениях в частных производных. Переславль-Залесский, 2008. (http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/).
7. Уравнения параболического типа.
7.5. Численные методы решения уравнения теплопроводности.
7.5.3. Асимметричные схемы Саульева.

[Tolya]

птьху ты, я, конечно же, говорил об аппроксимации, а не устойчивости.... Устойчивость проверяется легко - спектральным методом Неймана.
Поправил...
Спасибо V.V. за ссылки, особенно за вторую.

К сожалению, моего случая я пока не нашёл..

[V.V.]

А почему формулы при аппроксимации громоздкие? У меня они получились не очень большие.

[TOTAL]

Tolya писал(а):

Проблема заключается в следующем.
Если у нас шаблон такой что, приняв одну точку за базовую, мы можем добраться до любой другой за один шаг (по времени или координате), то, раскладывая в ряд Тейлора (относительно базовой точки) функции во всех остальных точках шаблона, получаем что надо быстро и без напрягов. В случае же схемы Саульева, приняв, например, за базовую (m,n), мы функцию U в точке (m+1,n-1) можем разложить только как функцию двух переменных. Так вот, получаются на столько громоздкие формулы, что страшно...
Вобщем, есть ли способ по-быстрее получить нужное или дальше продолжать в этом направлении?

Поскольку порядок аппроксимации (на решении) не зависит от того, в какой точке будете раскладывать в ряд Тейлора, выбирайте наиболее удобную точку. В данном случае (вроде как и указано в книге) возьмите точку, относительно которой схема симметрична. Перед разложением в ряд Тейлора исключите промежуточный шаг и из соображений симметрии увидите, что порядок аппроксимации равен ...

[Tolya]

V.V. писал(а):

А почему формулы при аппроксимации громоздкие? У меня они получились не очень большие.

Ну вот так получается....
$u(t+\tau,x+h)=u(t,x)+u_t \tau + u_x h+\frac{1}{2}(u_{tt} \tau^2 + 2 u_{tx} \tau h + u_{xx} h^2)+\frac{1}{6} (u_{ttt} \tau^3 + 3 u_{ttx} \tau h^2 + u_{xxx} h^3)+\frac{1}{24} (u_{tttt} \tau^4 +4 u_{tttx} \tau^3 h + 6 u_{ttxx} \tau^2 h^2+ 4 u_{txxx} \tau h^3 + u_{xxxx} h^4)+...$

$u_m^n = u_m^{{n-\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}u_t \tau + \frac{1}{8} u_{tt} \tau^2 + \frac{1}{48} u_{ttt} \tau^3+...$

$u_m^{n-1} = u_m^{{n-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}u_t \tau + \frac{1}{8} u_{tt} \tau^2 - \frac{1}{48} u_{ttt} \tau^3+...$

$u_{m+1}^{n-1}=u_m^{n-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}u_t \tau +\frac{1}{8}u_{tt} \tau^2 -\frac{1}{2}u_{tx}\tau h+\frac{1}{2}u_{xx}h^2 -\frac{1}{48}u_{ttt}\tau^3+ \frac{1}{8}u_{ttx} \tau^2 h - \frac{1}{4} u_{txx} \tau h^2+\frac{1}{6} u_{xxx}h^3 + \frac{1}{24*16}u_{tttt}\tau^4-\frac{1}{48}u_{tttx}\tau^3 h + \frac{1}{16}u_{ttxx} \tau^2 h^2 - \frac{1}{12} u_{txxx} \tau h^3 + \frac{1}{24} u_{xxxx} h^4 -...$

$u_{m-1}^{n}=u_m^{n-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}u_t \tau -\frac{1}{8}u_{tt} \tau^2 -\frac{1}{2}u_{tx}\tau h+\frac{1}{2}u_{xx}h^2 +\frac{1}{48}u_{ttt}\tau^3- \frac{1}{8}u_{ttx} \tau^2 h + \frac{1}{4} u_{txx} \tau h^2-\frac{1}{6} u_{xxx}h^3 + \frac{1}{24*16}u_{tttt}\tau^4-\frac{1}{48}u_{tttx}\tau^3 h + \frac{1}{16}u_{ttxx} \tau^2 h^2 - \frac{1}{12} u_{txxx} \tau h^3 + \frac{1}{24} u_{xxxx} h^4 +...$

$L[u]=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial t}$
$L_h[u]=\frac{u_{m-1}^n-(u_m^n+u_m^{n-1})-u_{m+1}^{n-1}}{h^2}-\frac{u_{m-1}^n - u_m^{n-1}}{\tau}$

$R_h[u] \equiv L_h[u]-L[u]=L_h[u]=\frac{1}{h^2} (u_t \tau -2u_x h+\frac{1}{24}u_{ttt} \tau^3-\frac{1}{4}u_{ttx} \tau^2 h +\frac{1}{2}u_{txx}\tau h^2 -\frac{1}{3}u_{xxx}h^3 - 2u_{m}^{n-\frac{1}{2}} +\frac{1}{4} u_{tt} \tau^2) -u_t+\frac{1}{3} u_{ttt} \tau^2)=$

И чё дальше делать ?

[Jnrty]

Jnrty:

Формулы следует окружать знаками доллара.

А у Вас некоторые формулы получились нечитаемыми. Исправьте, пожалуйста, и в первом сообщении, и в последнем, и в остальных. Для исправления существует кнопка .

$L[u]=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial t}$

$L[u]=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial t}$

или

$$L[u]=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial t}$$

$$L[u]=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial t}$$

[TOTAL]

Tolya писал(а):

И чё дальше делать ?

Зачем спрашиваете, если не слушаете советов?
Запишите схему по-человечески в два шага:

$$\frac{u_j^{n+1/2}-u_j^n}{\tau/2}=\frac{\Delta_{j+1/2}u^n - \Delta_{j-1/2}u^{n+1/2}}{h^2}$$

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n+1/2}}{\tau/2}=\frac{\Delta_{j+1/2}u^{n+1} - \Delta_{j-1/2}u^{n+1/2}}{h^2}$$

где

$$\Delta_{j+1/2}u=u_{j+1}-u_j$$

,
После исключения промежуточных величин

$$u_j^{n+1/2}$$

запишите схему в один шаг:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\tau}=\frac{\Delta_{j+1/2} -\Delta_{j-1/2}}{h^2} \frac{u_j^{n+1}+u_j^n}{2}+\frac{\tau^2}{4h^2} \frac{\Delta_{j+1/2} \Delta_{j-1/2}}{h^2} \frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\tau} $$

Теперь без разложения в ряд Тейлора из симметрии видно, что порядок аппроксимации равен ...
Но можете и в ряд Телора пораскладывать.

[Tolya]

TOTAL писал(а):

Tolya писал(а):

И чё дальше делать ?

Зачем спрашиваете, если не слушаете советов?

Прочтите ещё раз, я отвечал не Вам и поэтому не не слушал! )) А как "исключить промежуточный шаг" сразу не понял, поэтому и решал по-старому. Что в ваших обозначениях $\Delta{j-1/2}u}$ ? (дельта с минусом)

[TOTAL]

В

$$\Delta_{j+1/2}u=u_{j+1}-u_j$$

замените

$$j$$

на

$$j-1$$

.

[Tolya]

Вопрос снимается. Ошибка (в знаке) в формуле в учебнике Всем спасибо.