Доказать, что вычёркиванием цифр можно получить не-степень

[Ktina]

Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть
несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной
степенью числа, меньшего 500. (С. Берлов)

Мне непонятны несколько моментов в условии этой задачи:

1) Какую роль играет то, что в записи числа отсутствуют нули? Ведь если нули есть, можно вычеркнуть всё, что правее первого нуля (даже в случае, когда правее ничего нет), и получившееся число гарантированно не будет степенью (выше первой) никакого натурального числа.

2) Зачем нужно условие «меньшего 500»? Как это влияет на доказательство?

3) (это уже, скорее, моя придирка) Режет уши и глаза понятие «натуральная степень». На мой взгляд, лучше писать «степень с натуральным показателем, большим 1».

4) Попробую всё-таки привести здесь попытку решения, вдруг окажется, что я в корне заблуждаюсь?

Итак, предположим противное от того, что требуется доказать в задаче. В таком случае, первой цифрой нашего 1000-значного числа может быть только 1, 4, 8 или 9 (иначе - вычёркиваем все цифры, кроме первой, и задача решена). Но если первая цифра - 1, 4, 8 или 9, то первые две цифры могут быть только 16, 49 или 81 (иначе - вычёркиваем все цифры, кроме первой и второй, и задача решена). Но если первые две цифры - 16, 49 или 81, то первыми тремя цифрами могут быть только 169 (иначе - вычёркиваем все цифры, кроме первых трёх, и задача решена). Но если первые три цифры - 169, то какой бы ни была четвёртая цифра, можно смело вычеркнуть все цифры, кроме первых четырёх - и вуаля! Мы пришли к противоречию, следовательно, доказали требуемое.

Что не так? И почему авторское решение совсем иное: http://www.matol.ru/files/3etap2019sol.pdf (задача №3)?

[waxtep]

1) из $10^{999}$ сколько ни вычеркивай - не поможет
2) на авторское доказательство - самое прямое влияние, чтоб и принцип Дирихле, и последующее противоречие "сработали"
3) да, цепляет глаз
4) по-моему, все хорошо; но: авторское доказательство работает для любой позиционной системы счисления (с основанием больше $5$), возможно, в этом его достоинство. Еще вариант, может быть, в условии пропущено требование "вычеркнуть менее половины цифр"

[Null]

Тут ошибка в том что например 1 оставлять нельзя. Оно является степенью числа меньшего 500. Например $1^1$. Вообще числа меньше 500 оставлять нельзя.

[waxtep]

Null в сообщении #1387785 писал(а):

Тут ошибка в том что например 1 оставлять нельзя. Оно является степенью числа меньшего 500. Например $1^1$. Вообще числа меньше 500 оставлять нельзя.

А! Вот это коварно; т.е. "натуральная степень" - вполне аккуратная формулировка (имеется в виду в том числе и первая степень)

waxtep в сообщении #1387750 писал(а):

1) из $10^{999}$ сколько ни вычеркивай - не поможет

Уже не так важно, но тут наврал: вычеркивая $998$ цифр получим десятку, которая является лишь первой степенью

[Null]

waxtep в сообщении #1387793 писал(а):

Уже не так важно, но тут наврал: вычеркивая $998$ цифр получим десятку, которая является лишь первой степенью

Это ничему не противоречит.

[waxtep]

Null в сообщении #1387801 писал(а):

Это ничему не противоречит.

Да, разумеется. Кстати, правильно понятая постановка задачи все еще допускает штурм в лоб, только чисел придётся проверить немного больше - все натуральные степени, большие единицы, в диапазоне от $511$ до $4999$, не содержащие нулей в записи. Таких чисел $41$, самое длинное, получающееся из них, это $18496=136^2$ (и $1849=43^2$)