2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Удивительное число 1234568
Сообщение11.04.2019, 15:58 
Аватара пользователя


01/06/12
1016
Adelaide, Australia
Возьмем число 1234568. Вроде ничего особенного? Оказывается если взять его квадратный корень то получим:

1111.1111555555546666667022222204444445439999940266670421333089280016270221115847

Отметьте что в начале очень много цифр повторяются. Теперь возьмем квадратный корень этого числа:

33.333333999999980000000933333282000003079999804933346151999134740059606795827524

Опять много повторений! Почему так? Как это работает? Есть еще похожие примеры?

-- 11.04.2019, 21:50 --

Кстати рекордсмен по количеству повторных цифр (после запятаи) это 308642, корень которого:

555.55557777777733333335111111022222227199999701333352106665446400081351105579236

 Профиль  
                  
 
 Re: Удивительное число 1234568
Сообщение11.04.2019, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Ещё лучше 1234567.9 :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Удивительное число 1234568
Сообщение11.04.2019, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Если в числе $x$ "много повторений" цифры $3$, то $3x$ - это "с хорошей точностью" степень десятки $10^k$ (чуть меньше). Тогда $(3x)^2$ - это "с хорошей точностью" $10^{2k}$, и в $x^2$ "много повторений" цифры $1$.
Соответственно берем любое $k$, берем $\frac{10^{4k}}{81}$, и получаем это свойство.

Соседние числа: $\sqrt{124} = 11.13\ldots$, $\sqrt[4]{124} = 3.336\ldots$, $\sqrt{12345679012} = 111111.11110\ldots$, $\sqrt[4]{12345679012} = 333.333333331\ldots$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Удивительное число 1234568
Сообщение12.04.2019, 00:38 
Аватара пользователя


01/06/12
1016
Adelaide, Australia
Хорошо, я понимаю откуда берутся первые повторения (1...1 и 3...3):

$1/9=0.111...1, \sqrt{1/9}=1/3=0.333...3$
$(1/9)^2\simeq 0.01234568$

Но для меня остается загадкой почему следующие цифры в результате (после 1...1) тоже повторяются? Или это чистое совпадение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group