Удивительное число 1234568

[dimkadimon]

Возьмем число 1234568. Вроде ничего особенного? Оказывается если взять его квадратный корень то получим:

1111.1111555555546666667022222204444445439999940266670421333089280016270221115847

Отметьте что в начале очень много цифр повторяются. Теперь возьмем квадратный корень этого числа:

33.333333999999980000000933333282000003079999804933346151999134740059606795827524

Опять много повторений! Почему так? Как это работает? Есть еще похожие примеры?

-- 11.04.2019, 21:50 --

Кстати рекордсмен по количеству повторных цифр (после запятаи) это 308642, корень которого:

555.55557777777733333335111111022222227199999701333352106665446400081351105579236

[worm2]

Ещё лучше 1234567.9

[mihaild]

Если в числе $x$ "много повторений" цифры $3$, то $3x$ - это "с хорошей точностью" степень десятки $10^k$ (чуть меньше). Тогда $(3x)^2$ - это "с хорошей точностью" $10^{2k}$, и в $x^2$ "много повторений" цифры $1$.
Соответственно берем любое $k$, берем $\frac{10^{4k}}{81}$, и получаем это свойство.

Соседние числа: $\sqrt{124} = 11.13\ldots$, $\sqrt[4]{124} = 3.336\ldots$, $\sqrt{12345679012} = 111111.11110\ldots$, $\sqrt[4]{12345679012} = 333.333333331\ldots$.

[dimkadimon]

Хорошо, я понимаю откуда берутся первые повторения (1...1 и 3...3):

$1/9=0.111...1, \sqrt{1/9}=1/3=0.333...3$
$(1/9)^2\simeq 0.01234568$

Но для меня остается загадкой почему следующие цифры в результате (после 1...1) тоже повторяются? Или это чистое совпадение?