Зорич. Дифференциальное исчисление.

[ignat.fugasov]

Гл. 5 Пар. 3 Лемма 2. По индуктивному предположению мы должны получать, что $\varphi(x) = o((x - x_0)^{k-1})$ при $x\to x_0$, однако в учебнике $\varphi'(x) = o((x - x_0)^{k-1})$.
$x^2 = o(x)$ при $x\to 0$, но $2x \ne o(x)$.
Как собственно обосновать этот шаг?

[Lia]

ignat.fugasov
Нельзя ли более цельный фрагмент? В каких предположениях на $\varphi$ доказывается утверждение, и что за утверждение вообще? Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, надо думать? Нет?

[ignat.fugasov]

Lia
Она самая, точнее лемма из которой выводится формула. Доказывается по индукции, что если до порядка $n$ в $x_0$ производные равны 0, то $\varphi(x) = o((x-x_0)^n)$.

[Lia]

В учебнике вроде все написано.
База. При $n=1$ - определение.
Делаем предположение, что утверждение верно при $n=k-1$ - то есть из того, что $k-1$ производных и значение функции, существуют и равны нулю, следует, что $\varphi(x) = o((x - x_0)^{k-1})$.
Делаем шаг индукции. Пусть $n=k$. Столько производных существует и равно нулю. Значение функции тоже. Обозначаем $\varphi'(x)=g(x)$. Тогда для этой функции выполнены условия предположения. Тогда $g(x)=\varphi '(x) =o((x - x_0)^{k-1})$. Надо думать, что это именно то место, о котором Вы спрашиваете. Дальше теорема Лагранжа.

[ignat.fugasov]

Lia
Ой, в предположение же по сути написано, что для любой функции, у которой $k-1$ производных равны $0$ в $x_0$ выполнено утверждение, а я зациклился на начальной $\varphi(x)$, когда можно рассматривать и $\varphi'(x)$ относительно предположения. Чет переклинило. Спасибо за ответ, так бы продолжал ломать голову как без этого замечания доказать шаг.