2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про бактерии.
Сообщение29.01.2006, 20:50 


29/01/06
26
Задача: В некоторый нулевой момент времени в центре прямоугольной системы координат Oxyz находится бактерия. Через одну минуту она делится на 6 таких же бактерий, которые перемещаются в разные стороны на единицу длины параллельно одной из осей. Такое превращение происходит каждую минуту с каждой бактерией. Если в какой-то момент времени в одной точке окажется 2 бактерии или больше, они мгновенно взаимоуничтожаются. Сколько бактерий существует в момент времени 2000 минут, сразу после взаимоуничтожения в этот момент времени?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2006, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Ээээ, скорее всего надо будет составлять дифференциальное уравнение.
$ b(t) $ количество бактерий ко времени t
$ \frac {d( b(t))} {d t} $ изменение бактерий за единицу времени (у Вас дискретный случай, изменение за минуту)
Теперь предполагаем следующее: изменение числа бактерий за минуту времени пропоцианально количеству бактерий! Отсюда получаем:
$ \frac {d(b(t))} {dt} = a * b(t) $-
$ a $ является пропорциональной константой (естественный прирост бактерий, может быть негативным). Эта константа на самом деле, скоре всего, будет не константой, а функцией, которая будет зависеть от концентрации бактерий.
Вообще можно задать и так: $ 1 - \frac {b(t)} c $, где с у Вас количество свободных клеток для тех бактерий, которые находятся "внутри" шара роста (то есть определяет пространство для максимального количества бактерий)...
Подумайте теперь сами, как Вам лучше задать все эти функции и константы (используя начальные условия и то, что дано по задаче) и после этого получите диффур первого порядка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 00:27 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Есть идея решения. Я для простоты рассмотрел одноменую задачу, когда бактерии рождаются и живут на оси $x$.
Первая бактерия находилась в $x=0$.
Легко показать, что через $2^n$ минут в живых будет только 2-е бактерии и находиться они будут в точках $x=-2^n$ и $x=2^n$.
Следующий шаг нужно показать, что через
$2^{n_1}+2^{n_2}+...+2^{n_N}$ минут в живых будет $2^N$ бактерий. Здесь $n_1,... ,n_N$ натуральные числа.
И последний шаг: $2000=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4$, поэтому
в живых останется $2^6$ бактерий.
Обобщить на 3-х мерных бактерий не составляет труда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
ЗдОрово, Аурелиано! Действительно надо было считать изначально по дискретному случаю. Правда в школе, я тоже решала такии задачи про размножение кроликов и там нам вводились первые диффуры. :) Правда кролики не бегали по прямым и не уничтожали друг друга, но у них была смертность и рождаемость (кстати потом в зависимости от места - мы их разводили на острове с ограниченым количеством пищи)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 01:18 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Capella писал(а):
Правда кролики не бегали по прямым и не уничтожали друг друга, но у них была смертность и рождаемость (кстати потом в зависимости от места - мы их разводили на острове с ограниченым количеством пищи)

Ты наверно имеешь в виду модель Лотки-Вольтерра :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
В общем я учила это тогда под названием "рост популяции". Там можно вводить много условий, в том числе лис, популяция кролиов будет зависеть от популяции лис, популяция лис от популяции кроликов (например если лисы поедают всех кроликов, то наступает момент, когда всем лисам начинает не хватать еды, их популящия сокращается, но за счёт этого снова начинает расти популяция кроликов). В итоге ищется модель относительной стабилизации. Можно составлять интересные диффуры.
Кстати, в случае с бактериями происходит нечто подобное, хотя здесь не будет синусоидального (или спирального) развития...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 19:58 


29/01/06
26
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Есть идея решения. Я для простоты рассмотрел одноменую задачу, когда бактерии рождаются и живут на оси $x$.
Первая бактерия находилась в $x=0$.
Легко показать, что через $2^n$ минут в живых будет только 2-е бактерии и находиться они будут в точках $x=-2^n$ и $x=2^n$.
Следующий шаг нужно показать, что через
$2^{n_1}+2^{n_2}+...+2^{n_N}$ минут в живых будет $2^N$ бактерий. Здесь $n_1,... ,n_N$ натуральные числа.
И последний шаг: $2000=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4$, поэтому
в живых останется $2^6$ бактерий.
Обобщить на 3-х мерных бактерий не составляет труда.



А какким образом обобщить? У меня ступор какой-то с этой задачей вышел...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
А Вы сделайте сначала тогда в 2 мерном пространстве и как только увидите, как функционирует там и разницу с одномерным, то трёхмерное будет уже совсем легко. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 21:30 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
ОЛЬГА1313 писал(а):
А какким образом обобщить? У меня ступор какой-то с этой задачей вышел...

Я сильно не думал, но подозреваю, что в $d$-мерном пространстве должно быть так:
через $2^n$ минут $2d$ бактерий, а
через $2^{n_1}+...+2^{n_N}$ минут ??? бактерий.
Удачи!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 01:37 


29/01/06
26
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group