Неясный момент (теория групп)

[bayah]

Такие обозначения:
$G$ - группа, $F, H \leq G$, $H \unlhd G$
$FH = \{gh | g \in F, h \in H \}$
$\pi: G \to G/H$

Вот этот момент не яснен (из лекции):
$FH = \bigcup\limits_{f \in F}{fH} = \bigcup\limits \pi^{-1}(\pi(f)) = \pi^{-1}(\pi(F))$

Каким образом имеет место вот это равенство $\bigcup\limits_{f \in F}{fH} = \bigcup\limits \pi^{-1}(\pi(f))$ ?
Тут $\pi(f) = fH$, а $\pi^{-1}(fH) = f$, и получится, что $\bigcup\limits \pi^{-1}(\pi(f)) = \bigcup\limits_{f \in F}{f}$, а куда тогда $H$ потеряли?
Или типа мы каждый элемент множетсва $fH$ в аргументе к $\pi^{-1}$ расцениваем как представителя тоже смежного класса по $H$?

[vpb]

Когда есть какое-то отображение $\varphi\colon X\longrightarrow Y$, то для элемента $y\in Y$ выражение $\varphi^{-1}(y)$ --- это полный прообраз, т.е. некоторое подмножество в $X$. Читайте книжки, а не только смотрите лекции. Скажем Кострикин, Введение в алгебру, начало (гл.1). Это во-первых.

А в данном случае есть еще путаница потому, что выражение $fH$ можно понимать в двух смыслах: или как элемент из $G/H$, или как подмножество (смежный класс по $H$) из $G$. В этом смысле, $\pi^{-1}(fH)=fH$. Слева элемент, справа подмножество. Это известное скользкое (в смысле обозначений) место. Ну вот так принято. Можете посмотреть еще ван дер Вардена "Алгебра", гл.2.

[Munin]

Я что-то не пойму, а что тут "скользкого"? Элементы $G/H$ ведь и есть подмножества $G$ (смежные классы), просто по определению. (Но не в обратную сторону, не любое подмножество $G$ есть элемент $G/H.$) В этом смысле, $\pi^{-1}$ как "полный прообраз" - просто тождественное отображение этих некоторых подмножеств на сами себя. В формуле $\pi^{-1}(fH)=fH$ и слева и справа подмножества.

[vpb]

Munin в сообщении #1386754 писал(а):

Я что-то не пойму, а что тут "скользкого"? Элементы $G/H$ ведь и есть подмножества $G$ (смежные классы), просто по определению. (Но не в обратную сторону, не любое подмножество $G$ есть элемент $G/H.$) В этом смысле, $\pi^{-1}$ как "полный прообраз" - просто тождественное отображение этих некоторых подмножеств на сами себя. В формуле $\pi^{-1}(fH)=fH$ и слева и справа подмножества.

Я думаю, такое объяснение только обратно запутает ТС. Рациональное зерно тут --- что подмножество одного множества может рассматриваться как элемент в другом (что в общем-то дело обычное). А что это скользкое место --- известно из практики.
Скользкое тут --- что разные сущности обозначаются одним символом. Или, если смотреть по другому, на одну и ту же сущность в правой и левой частях равенства смотрят с разных сторон, не оговаривая этого достаточно. Вот и ТС поскользнулся.

[Munin]

Ну, мне кажется, если всё аккуратненько нарисовать на бумаге, то распутаться можно. Ладно, молчу.

[bayah]

vpb в сообщении #1386723 писал(а):

А в данном случае есть еще путаница потому, что выражение $fH$ можно понимать в двух смыслах: или как элемент из $G/H$, или как подмножество (смежный класс по $H$) из $G$. В этом смысле, $\pi^{-1}(fH)=fH$. Слева элемент, справа подмножество.

Да, вот это и путало.

Munin в сообщении #1386754 писал(а):

Я что-то не пойму, а что тут "скользкого"? Элементы $G/H$ ведь и есть подмножества $G$ (смежные классы), просто по определению.

Смущало то, что $fH$ в $\pi^{-1}(fH)$ это нужно понимать именно элемент, а не множество. То есть если есть $f: A \to B$, где $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ и $B = \{b_1, b_2, \dots, b_m\}$. Дальше можно записать такое $f^{-1}(b_i)$, а можно такое $f^{-1}(B)$. В первом случае это прообраз элемента, а во-втором, прообраз множества.
В случае же с $\pi: G \to G/H$ в $\pi^{-1}(fH)$ смежный класс $fH$ нужно понимать как элемент $G/H$.
Ну да, вообще тут это и так ясно просто исходя из определения $\pi$, откуда элементы множества $G/H$ это множества, а не элементы $G$.
Поэтому в формуле $\pi^{-1}(fH) = fH$ слева элемент $G/H$, а справа подмножество $G$.

Но мне еще не было ясно почему $\pi^{-1}(fH) = fH$. Понятно что, если взять все элементы множества $fH = \{fe, fh_1, fh_2, \dots, fh_n\}$, то $\pi(fH) = \{feH, fh_1H, fh_2H, \dots, fh_nH\} = \{fH, fH, fH, \dots, fH\}$. Тогда понятно, что $fH \in \pi^{-1}(fH)$. Но почему $fH$ это полный прообраз и не может быть какого-то $g \notin fH : fH = gH$?

А, ну получается, если предположить, что $\exists g \notin fH : fH = gH$, тогда $g^{-1}fH = H$, то есть $g^{-1}fH = \{g^{-1}fe, g^{-1}fh_1, g^{-1}fh_2, \dots, g^{-1}fh_n\} = \{e, h_1, h_2, \dots, h_n \} = H$. Но так как $g \neq f$, то $g^{-1}fe \neq e$ и так как $g \notin fH$, то $g \neq fh_i$, для любого $h_i \in H$, следовательно $g^{-1}fh_i \neq e$. И значит нет такого $g$.
Получается, что смежный класс $fH = gH$, только когда $g \in fH$?

[vpb]

bayah в сообщении #1387041 писал(а):

Получается, что смежный класс $fH = gH$, только когда $g \in fH$?

Да, конечно, причем для произвольной (не обязательно нормальной) подгруппы $H$.

[bayah]

vpb
Спасибо.

(Оффтоп)

Опять я неверно процитировал там выше - цитировал вас, а ткнул на другое сообщение).

Pphantom:

Поправлено.