2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 найти проективное преобразование
Сообщение09.04.2019, 04:35 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5446
Для натурального $n$ рассмотрим прямоугольник с вершинами в $(0,0)$, $(n,0)$, $(0,1)$ и $(n,1)$, и проведем в нём все отрезки соединяющие пары целых точек на его сторонах. Например, для $n=3$ получается разбиение:
Вложение:
A306302_3.png
A306302_3.png [ 55.3 Кб | Просмотров: 0 ]

Пытливый глаз заметит, что это разбиение очень напоминает разбиение равнобедренного прямоугольного треугольника, про которое всё известно (см. теорему 13):
Вложение:
tritri.png
tritri.png [ 34.05 Кб | Просмотров: 0 ]

Докажите, что эти разбиения и в самом деле совпадают для любого $n$ с точностью до проективного преобразования. Какого?

 Профиль  
                  
 
 Re: найти проективное преобразование
Сообщение09.04.2019, 14:43 
Заслуженный участник


18/01/15
1766

(Решение)

В лоб-с... Достаточно вспомнить, как проективное преобразование плоскости записывается в координатах. А оно записывается как
$$ (x,y)\mapsto (\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}, \frac{a_2x+b_2y+c_2}{ax+by+c}) .$$
Из условия ясно, что должно быть $(n,0)\mapsto(\frac1{n+1},0)$, $(n,1)\mapsto(0,\frac1{n+1})$ (или наоборот, $(n,0)\mapsto(0,\frac1{n+1})$, $(n,1)\mapsto(\frac1{n+1},0)$). Также, очевидно, можно нормировать так, что $c=1$. После чего остальные коэффициенты находятся способом неопределенных коэффициентов.

Ответ: $$ (x,y)\mapsto (\frac{-y+1}{x+1},\frac y{x+1}). $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group