найти проективное преобразование

[maxal]

Для натурального $n$ рассмотрим прямоугольник с вершинами в $(0,0)$, $(n,0)$, $(0,1)$ и $(n,1)$, и проведем в нём все отрезки соединяющие пары целых точек на его сторонах. Например, для $n=3$ получается разбиение:

Вложение:

A306302_3.png

Пытливый глаз заметит, что это разбиение очень напоминает разбиение равнобедренного прямоугольного треугольника, про которое всё известно (см. теорему 13):

Вложение:

tritri.png

Докажите, что эти разбиения и в самом деле совпадают для любого $n$ с точностью до проективного преобразования. Какого?

[vpb]

(Решение)

В лоб-с... Достаточно вспомнить, как проективное преобразование плоскости записывается в координатах. А оно записывается как

$$ (x,y)\mapsto (\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}, \frac{a_2x+b_2y+c_2}{ax+by+c}) .$$

Из условия ясно, что должно быть $(n,0)\mapsto(\frac1{n+1},0)$, $(n,1)\mapsto(0,\frac1{n+1})$ (или наоборот, $(n,0)\mapsto(0,\frac1{n+1})$, $(n,1)\mapsto(\frac1{n+1},0)$). Также, очевидно, можно нормировать так, что $c=1$. После чего остальные коэффициенты находятся способом неопределенных коэффициентов.

Ответ:

$$ (x,y)\mapsto (\frac{-y+1}{x+1},\frac y{x+1}). $$