Определённый интеграл с кубическим радикалом

[zcorvid]

Подскажите, интеграл:

$$ \int_0^1 \frac{(4x^2 + 4x - 16)dx}{(x^2 - 3x + 2)^{1/3}} $$

берётся в элементарных функциях? (если неопределённый брать) Если нет - решается ли он для конкретных пределов интегрирования?

Я где-то встречал какой-то интересный критерий того, что подобный интеграл берётся в элементарных функциях, подобный я здесь подразумеваю - функция, содержащая плюс, минус, умножить, разделить и извлечение корня какой-то степени. В том критерии на самом деле вид интеграла был сильно ограничен, там не произвольная комбинация радикалов допускалась, но интеграл выше очень похож на то, о чём там шла речь. Может кто-нибудь помнит, что это могла быть за теорема? И в какой книжке она излагалась, это был какой-то задачник, а какой - я забыл.

[Sender]

Похожая тема уже проскакивала.
https://dxdy.ru/post256878.html

zcorvid в сообщении #1386600 писал(а):

В том критерии на самом деле вид интеграла был сильно ограничен, там не произвольная комбинация радикалов допускалась, но интеграл выше очень похож на то, о чём там шла речь.

Может, вы об интегрируемости в элементарных функциях дифференциального бинома? Боюсь, тут это не слишком-то поможет.

[oniksofers]

zcorvid в сообщении #1386600 писал(а):

берётся в элементарных функциях?

Нет.

zcorvid в сообщении #1386600 писал(а):

решается ли он для конкретных пределов интегрирования?

Что значит решается? Любая система компьютерной алгебры или какой-нибудь матлаб, запросто выдаст вам численный ответ.

zcorvid в сообщении #1386600 писал(а):

подобный интеграл берётся в элементарных функциях, подобный я здесь подразумеваю - функция, содержащая плюс, минус, умножить, разделить и извлечение корня какой-то степени.

То о чем вы говорите, называется интегрирование дифференциального бинома. Посмотреть можно в Фихтенгольц Курс дифференциального
и интегрального исчисления т2. Но как писалось выше, это мало поможет.

[svv]

Более конкретно, после замены $x=\frac{y+3}{2}$ получается сумма двух красивых дифференциальных биномов. И, по крайней мере, вопрос о том, кто там из них интегрируется в элементарных функциях, а кто нет, решается моментально.

[Markiyan Hirnyk]

svv
Из того, что $\int_a^bf(x)\,dx$ и $\int_a^bg(x)\,dx$ не выражаются в элементарных функциях не следует, что $\int_a^b(f(x)+g(x))\,dx$ не выражается через элементарные функции.

[ewert]

Ну, интеграл, очевидно, можно переписать как $4\int(x^2-3x+2)^{\frac23}dx+a\int\frac{dx}{(x^2-3x+2)^{\frac13}}+b(x^2-3x+2)^{\frac23}$.

Проинтегрировав первое слагаемое по частям, объединив полученный интеграл со вторым и выделив из него то, что интегрируется, получим выражение вида $(\alpha x+\beta)(x^2-3x+2)^{\frac23}+\gamma\int\frac{dx}{(x^2-3x+2)^{\frac13}}$, которое выражается через элементарные функции, естественно, только при $\gamma=0$.

Остаётся только продифференцировать первое слагаемое и найти такие $\alpha$ и $\beta$, при которых эта производная совпадает с исходным подынтегральным выражением. Вероятность их найти, конечно, есть; но -- нулевая.

[GAA]

Если следовать предложению svv (сообщение в этой ветке выше), то исходный интеграл можно записать в виде суммы легко берущегося и интеграла от диф. бинома, который не берётся в элементарных функциях [не выполняется ни один из трех случаев, когда интеграла от диф. бинома берётся в элементарных функциях]. Следовательно, исходный интеграл не берётся в элементарных функциях. Вопрос закрыт. Или я что-то не вижу?

[svv]

GAA в сообщении #1386655 писал(а):

исходный интеграл можно записать в виде суммы легко берущегося и интеграла от диф. бинома, который не берётся в элементарных функциях [не выполняется ни один из трех случаев, когда интеграла от диф. бинома берётся в элементарных функциях]. Следовательно, исходный интеграл не берётся в элементарных функциях. Вопрос закрыт.

Позвольте лишь подписаться под этим ответом.

[Markiyan Hirnyk]

GAA
Мой комментарий указывает, что слишком краткий ответ не является оптимальным. Вот и все, не более и не менее.

[alcoholist]

zcorvid в сообщении #1386600 писал(а):

для конкретных пределов интегрирования?

Такой интеграл в пределах от 1 до 2 выражается через гамма-функции.

[GAA]

Если считать, что при отрицательных значениях аргумента $x^{\frac 1 3} = -(-x)^ {\frac 1 3}$, и интегрирование от 1 до 2, то всё очень просто (по стандартным формулам). После (приведенной в этой теме выше) замены интеграл сводится к сумме

$$-\frac 1 {2^{1/3}}\int_{-1}^1 \frac{8ydy} {(1-y^2)^{1/3}} + \frac 1 {2^{1/3}}\int_{-1}^1(1-y^2)^{2/3}dy.$$

Первый интеграл равен нулю, а второй (при помощи учета четности подынтегральной функции и замены $z=y^2$) сводится к B-функции, которая выражается через функцию $\Gamma$:

$$\frac 1 {2^{1/3}} \frac {\Gamma (1/2) \Gamma (5/3)}{ \Gamma (1/2+5/3)} \approx 1.173.$$

[Markiyan Hirnyk]

GAA

Цитата:

Первый интеграл равен нулю

Согласно определению несобственного интеграла, интеграл $\int_{-1}^1 \frac {y\,dy}{1-y^2}$ расходится. Нулю равно его главное значение в смысле Коши.

[thething]

Markiyan Hirnyk
По-моему, там просто пропущена степень $\frac{1}{3}$ в знаменателе, так что всё нормально сходится. Да и как может расходиться при линейной замене, если изначально сходилось?

[GAA]

Markiyan Hirnyk, thething, спасибо! Добавил пропущенную степень.