Сходится ли ряд?

[Ktina]

Сходится ли этот ряд?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sin{\sqrt{n}}$$

(Автор задачи: В. И. Богачев)

[thething]

Расходится. Достаточно рассмотреть отрезки ряда с номерами, лежащими на промежутках монотонности и неотрицательности $\sin\sqrt{k}$, например, $\left(\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)^2,\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^2\right)$ и оценить на них $\sin\sqrt{k}>\frac{1}{2}$, тогда останутся отрезки расходящегося ряда $\sum\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{k}}$, которые будут больше некоторого фиксированного числа (какого, можно грубо просчитать, смотря по тому, сколько минимально натуральных чисел попадает в каждый рассматриваемый промежуток).

[Ktina]

thething
Большое спасибо!