Почти рациональные кубоиды

[Volik]

Доброго дня всем! Если кто нибудь подскажет, как найти ВСЕ рациональные решения уравнения $r^2 = (x^2 \cdot y^2-1) \cdot (x^2-y^2)$ , то я представлю все кубоиды с рациональными сторонами, главой и двумя лицевыми диагоналями. Например, $(x=13/4, y=4/5, r=189/25) \Rightarrow ( b/a=672/153, c/a=104/153)$
Аналогично, каждому рациональному решению уравнения $ r^2= x^2 \cdot (1-y^2)^2+y^2 \cdot (1-x^2)^2$ соответствует кубоид с рациональными сторонами и лицевыми диагоналями и обратно (аналог Эйлерова параллелепипеда). Например, $(x=2/11, y=5/8, r=2379/3872) \Rightarrow ( b/a=44/115, c/a=240/117)$.
Кажется, первое уравнение попроще второго?!
Заранее благодарен всем откликнувшимся.

[Volik]

Вдогонку. А есть ли еще кубоиды, кроме со сторонами (153, 104, 672), с одной иррациональной лицевой диагональю? В интернете не нашел!

[Руст]

Существует и бесконечно много. Это заметил еще Эйлер.
Если $a,b,c$ целочисленные стороны, что

$$d_1^2=a^2+b^2, d_2^2=a^2+c^2, d_3^2=b^2+c^2$$

целочисленные диагонали,
то $a_1=bc, b_1=ac, c_1=ab$ так же дает решение:

$$a_1^2+b_1^2=d_3^2c^2, a_1^2+c_1^2=d_2^2b^2, b_1^+c_1^2=a^2d_1^2.$$

Вообще все взаимно простые целые решения можно параметризовать рациональными точками на эллиптической кривой ранга 1. Указанный трюк соответствует удвоению точки на эллиптической кривой.

[Volik]

Спасибо, но вопрос о существовании параллелепипедов с иррациональной боковой диагональю, отличных от $\begin{array} {} 697^2=153^2+104^2+672^2 \\ 185^2=153^2+104^2 \\ 680^2=104^2+672^2 \\ (3 \cdot \sqrt{52777})^2=153^2+672^2 \end{array}$

[Booker48]

Volik в сообщении #1386300 писал(а):

А есть ли еще кубоиды, кроме со сторонами (153, 104, 672), с одной иррациональной лицевой диагональю? В интернете не нашел!

А как искали?

Ну, навскидку, (520, 756, 117).

[Volik]

Спасибо за "вскидку"! Может и примитивно искал. В основном по результатам Гугла "Почти рациональные кубоиды"

[Booker48]

Я тоже примитивно искал. Открыл в вики статью "Совершенный кубоид". Прошёл на английскую версию статьи. Прочитал там, что

Цитата:

As of September 2017 Randall L. Rathbun published 155,151 found cuboids with the smallest integer edge less than 157,000,000,000: 56,575 were Euler (Body) cuboids, 15,449 were Edge cuboids with a complex number edge length, 30,081 were Edge cuboids, and 53,046 were Face cuboids.

Face cuboid - это как раз кубоид с одной иррациональной лицевой диагональю (остальные 6 параметров целые).
И прошёл по ссылке на статью Randall L. Rathbun. Он этот список последний раз обновил полгода назад. Теперь в нём over 160,000 почти рациональных кубоидов.

[Volik]

Еще раз, Спасибо! Мне стыдно, что второй раз забываю посмотреть англоязычную версию!