2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почти рациональные кубоиды
Сообщение05.04.2019, 19:29 


06/08/17
135
Доброго дня всем! Если кто нибудь подскажет, как найти ВСЕ рациональные решения уравнения $r^2 = (x^2 \cdot y^2-1)  \cdot (x^2-y^2)$ , то я представлю все кубоиды с рациональными сторонами, главой и двумя лицевыми диагоналями. Например, $(x=13/4, y=4/5, r=189/25) \Rightarrow ( b/a=672/153, c/a=104/153)$
Аналогично, каждому рациональному решению уравнения $ r^2= x^2 \cdot (1-y^2)^2+y^2 \cdot (1-x^2)^2$ соответствует кубоид с рациональными сторонами и лицевыми диагоналями и обратно (аналог Эйлерова параллелепипеда). Например, $(x=2/11, y=5/8, r=2379/3872) \Rightarrow ( b/a=44/115, c/a=240/117)$.
Кажется, первое уравнение попроще второго?!
Заранее благодарен всем откликнувшимся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение06.04.2019, 17:15 


06/08/17
135
Вдогонку. А есть ли еще кубоиды, кроме со сторонами (153, 104, 672), с одной иррациональной лицевой диагональю? В интернете не нашел!

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение08.04.2019, 17:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Существует и бесконечно много. Это заметил еще Эйлер.
Если $a,b,c$ целочисленные стороны, что
$$d_1^2=a^2+b^2, d_2^2=a^2+c^2, d_3^2=b^2+c^2$$ целочисленные диагонали,
то $a_1=bc, b_1=ac, c_1=ab$ так же дает решение:
$$a_1^2+b_1^2=d_3^2c^2, a_1^2+c_1^2=d_2^2b^2, b_1^+c_1^2=a^2d_1^2.$$
Вообще все взаимно простые целые решения можно параметризовать рациональными точками на эллиптической кривой ранга 1. Указанный трюк соответствует удвоению точки на эллиптической кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение09.04.2019, 11:24 


06/08/17
135
Спасибо, но вопрос о существовании параллелепипедов с иррациональной боковой диагональю, отличных от $\begin{array} {}   697^2=153^2+104^2+672^2  \\
185^2=153^2+104^2  \\
680^2=104^2+672^2  \\
(3 \cdot \sqrt{52777})^2=153^2+672^2  \end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение09.04.2019, 12:22 


07/06/17
983
Volik в сообщении #1386300 писал(а):
А есть ли еще кубоиды, кроме со сторонами (153, 104, 672), с одной иррациональной лицевой диагональю? В интернете не нашел!

А как искали? :roll:

Ну, навскидку, (520, 756, 117). 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение09.04.2019, 13:21 


06/08/17
135
Спасибо за "вскидку"! Может и примитивно искал. В основном по результатам Гугла "Почти рациональные кубоиды"

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение09.04.2019, 13:33 


07/06/17
983
Я тоже примитивно искал. Открыл в вики статью "Совершенный кубоид". Прошёл на английскую версию статьи. Прочитал там, что
Цитата:
As of September 2017 Randall L. Rathbun published 155,151 found cuboids with the smallest integer edge less than 157,000,000,000: 56,575 were Euler (Body) cuboids, 15,449 were Edge cuboids with a complex number edge length, 30,081 were Edge cuboids, and 53,046 were Face cuboids.

Face cuboid - это как раз кубоид с одной иррациональной лицевой диагональю (остальные 6 параметров целые).
И прошёл по ссылке на статью Randall L. Rathbun. Он этот список последний раз обновил полгода назад. Теперь в нём over 160,000 почти рациональных кубоидов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти рациональные кубоиды
Сообщение09.04.2019, 15:16 


06/08/17
135
Еще раз, Спасибо! Мне стыдно, что второй раз забываю посмотреть англоязычную версию!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group