формула приведения к эллиптическому интегралу 1-го рода

[IrinaZub]

Здравствуйте!

В книге Журавского "Справочник по эллиптическим функциям" нашла (без док--ва) следующую формулу:

$$\int\limits_x^a \frac{dx}{\sqrt{(x^2-b^2)(a^2-x^2)}}=\frac{1}{a}F(\varphi,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}),\quad a>b,$$

где $x=\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}.$ Здесь $F(\varphi,k)$ - интеграл Лежандра первого рода.

Это верная формула? Как ее проверить?

[svv]

Переменную интегрирования не следует обозначать той же буквой $x$, что и нижний предел интегрирования.
Условие $a>b$ недостаточно для применимости формулы.

Корректно эта формула записана в книгах:
Градштейн, Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Интеграл 3.152,10 на стр. 260. Обозначения на стр. 259.
P.Byrd, M.Friedman. Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Интеграл 218.00 на стр. 56. Обозначения прямо над интегралом.

Чтобы проверить, приведите интеграл к стандартному виду заменой $t=a\sqrt{1-k^2z^2}$, где $t$ — переменная интегрирования в формуле после исправления, $k=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$.

[IrinaZub]

svv, большое спасибо за ссылки!

Я знаю, что переменную интегрирования не следует обозначать той же буквой , что и нижний предел интегрирования)).
Но этот интеграл именно так записан в книге Журавского, и я решила ничего не менять.