Вопрос по u-ому моменту.

[Sunburn]

Добрый день! Пытаюсь разобраться с нахождением $u$-го момента случайной величины, но возникла проблема, чье решение выглядит достаточно тривиальным, но, тем не менее, разобраться не выходит. Мне нужно найти $h(u) = E(\lambda z^2)^u, u \ge 0$, где $z$ - стандартная нормальная величина. Авторы учебника утверждают, что $h(u) = \frac {(2\lambda)^u}{\sqrt{\pi}}\Gamma (u + \frac{1}{2}), u \ge 0$, только я не могу понять, почему это так. Насколько я понимаю, необходимо взять интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1/2)^{1/2}}{\Gamma(\frac{\lambda}{2})}(\lambda z^2)^{-1} e^{\frac{-\lambda z^2}{2}} (\lambda z^2)^u d(\lambda z^2)$, так как функция плотности - функция плотности для $\chi^2_{1}$. Можете подсказать, как берется такой интеграл и откуда там возьмется Гамма-функция от $(u + 1)$?
Заранее благодарю за ответ!

[alisa-lebovski]

Сначала нужно вынести $\lambda^u$, чтобы не мешалось. Получается интеграл

$$\int_{-\infty}^{+\infty}(z^2)^u\frac{e^{-z^2}}{\sqrt{2\pi}}\,dz= 2\int_0^{+\infty}z^{2u}\frac{e^{-z^2}}{\sqrt{2\pi}}\,dz.$$

Далее делаете замену $z^2=t$.