След оператора Штурма-Лиувилля

[meshok]

Доброго времени суток!
Я пробую разбираться в спектральной теории дифференциальных операторов. Занимаюсь по учебникам Б.М. Левитан, И.С. Саргсян "Введение в спектральную теорию" и В.А. Садовничий "Теория операторов". В университете задали рассказать статью "В. Б. Лидский, В. А. Садовничий, Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций, Функц. анализ и его прил., 1967,том 1, выпуск 2, 52–59"http://www.mathnet.ru/links/9f41e756a13ddd2b601b24fa370ff3a6/faa2816.pdf. Большая часть этой статьи - работа с асимптотическими разложениями, и если я буду их все проделывать на паре, то никому это не будет интересно и все уснут. Поэтому я решил рассказать идейные моменты статьи, написать главную формулу для регуляризованного следа (номер 28 в статье выше) и проиллюстрировать её (формулу) на конкретном примере.
Взял такую краевую задачу

$$ \begin{cases} -y''(x)+q(x)y(x)=\lambda y(x)\\ y(0)=y(\pi)=0\\ \end{cases} $$

где функция $q(x)$ достаточно гладкая и $\int\limits_{0}^{\pi } q(x) dx=0$
Регуляризованный след для этой задачи давно вычислен. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\lambda_{n}- n^2)=-\frac{q(0)+q(\pi)}{4}$
http://www.mathnet.ru/links/c1eacb2ee0d5ab4a950bd035e776324e/rm7438.pdf(стр. 25)
Теперь пробую получить этот же результат по формулам из статьи Садовничего, Лидского.
Функция $f(z)=\sin(\pi z) +O(\frac{1}{z^2})$ (Левит. Саргс. с 26). Приводим её к виду как в статье $f(z)=e^{i\pi z}\frac{1}{2i}-e^{-i\pi z}\frac{1}{2i}+O(\frac{1}{z^2})$
Вычисляем необходимые параметры
$\alpha_0=i\pi, $\alpha_1=-i\pi,h=1$
$n_0=0, n_1=0,\beta_{0}^{0}=\frac{1}{2i},\beta_{0}^{1}=-\frac{1}{2i}$
Асимптотическая формула для спектра нашей краевой задачи
$z_n=n+\frac{1}{2}\frac{c_2}{n^3}+O(\frac{1}{n^4})$, где $ c_2=\int\limits_{0}^{\pi } q^2(x) dx$ (стр 23 в статье выше)
$\frac{f'(z)}{f(z)}=-i\pi \frac{\cosh{\pi y}}{\sinh{\pi y}} \sim -i\pi, y\to\infty$, где $y=\Im z$
Все эти данные нужно просто подставить в итоговую формулу для того, чтобы вычислить регуляризованную сумму. Но этот заключительный шаг я не могу сделать. У меня появляется выражение $\zeta(1)$ и я совсем не представляю каким образом в этой формуле может возникнуть выражение $q(0)$ или $q(\pi)$.
Может кто-нибудь разбирался в этой работе и сможет мне подсказать, как нужно действовать.

[Утундрий]

meshok в сообщении #1384552 писал(а):

$$ \begin{cases} -y''(x)+q(x)y(x)=\lambda y(x)\\ y(0)=y(\pi)=0\\ \end{cases} $$

Любопытно, что тут первичнее: $\lambda$ или $\pi$?