Суммирование по состояниям

[S.Grisha]

Здравствуйте! Помогите разобраться с процедурой суммирования по квантовым состояниям.

Задача двумерная: $x\in [0,a], \,\, y\in [0,b]$. Магнитное поле $B$ направлено вдоль оси $z$. Гамильтониан электрона $H=[p+eA/c]^2/2m, \,\, A=(-By,0,0)$. Потенциал $U(y)=0$ ($\infty$ на краях). Имеются два типа собственных значений: $E_{n,y_0}^{in}$ для внутренних состояний и $E_{n,y_0}^{s}$ для поверхностных состояний. Далее, имеем температурный градиент вдоль оси $y$. Рассматривается большой канонический ансамбль и ищут среднее значение электрического и термального токов по этому ансамблю.

$$J=\int\limits_0^b \sum\limits_{n,y_0} \rho j_{x}(y)\, dy$$

$$Q=\int\limits_0^b \sum\limits_{n,y_0} \rho q_{x}(y)\, dy$$

$j_{x}(y)$ – это плотность тока, равная $\frac{\hbar e}{2mi}(\psi \partial_x \psi^*-\psi^* \partial_x \psi)+\frac{e^2By}{mc}\psi \psi^*=\frac{e^2B}{mc}(y-y_0)\phi^2(y),\,\, y_0=cp_x/eB$

Далее, не ясно откуда получить $q_{x}(y)$.

$\rho=f(E_{n,y_0})=\dfrac{1}{\exp \frac{E_{n,y_0}-\mu(y_0)}{kT(y_0)}+1}$

Как искать $J$? Что значит просуммировать по состояниям, ведь там же достаточно громоздкие выражения для собственных значений.

Задача состоит в том, чтобы представить $J$ как $\alpha \partial_y \mu +\beta \partial_y T$. Аналогично, $Q$.