как выглядит голоморфная функция?

[philurame]

Здравствуйте! Голоморфные функции, кажется, очень странная штука:
1) если есть локальный максимум модуля в области то она просто постоянна;
2) если область - круг и на верхней полуокружности она ноль, то она тождественный ноль!;
3) если она ограничена и область - $\mathbb{C}$, то она постоянна;
4) У голоморфного векторного поля не бывает циклов.

Вопрос: как их представлять? они что-то вроде периожических функций?
(и, кстати, можно ли как-нибудь просто доказать 4) пункт?)

[arseniiv]

philurame в сообщении #1383838 писал(а):

они что-то вроде периожических функций?

Ну вот любой многочлен — голоморфная функция. По-моему там и близко периодичностью не пахнет. А вот комплексная дифференцируемость — это довольно сильное свойство для функции, а ещё она имеет наглядный смысл: если функция $f$ дифференцируема в точке $a$, она в достаточно маленьких окрестностях $a$ смахивает на линейную: $f(a+z) = (A + Bz) + o(z)$ при $z\to a$. Видно, что $A = f(a)$, а вот $B$ как раз есть $f'(a)$. Тут всё то же как в действительном случае, только надо не забыть, что раз числа комплексные, умножение на $B$ — это не просто какое-то растяжение, а ещё возможно и поворот. Когда изображают, во что переходит координатная сетка при отображении на $\mathbb C$, можно легко научиться отличить дифференцируемую от недифференцируемой.

[philurame]

arseniivпо-моему это не сильно(не наглядно) объясняет свойства 1)-4)

[arseniiv]

Я думал, в

philurame в сообщении #1383838 писал(а):

Вопрос: как их представлять?

«их» было о функциях, а не о том, как быстро вывести 1…4. Хотя бы это показывает, что эти функции довольно жёсткие. Если $z$ описывает маленькую окружность, значение дифференцируемой $f(z)$ тоже ходит по почти окружности, притом с той же угловой скоростью, что $z$. Потом уж надо вооружившись учебником ТФКП вывести ещё свойства, в частности что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и совпадает со своим рядом Тейлора, и тогда-то должно быть более ясно. Из первых принципов можно вывести всё только в маленькой и молодой области математики.

Например процедура аналитического продолжения сразу же закрывает номер 2 — видно, что все производные должны выйти нулями.

[Otta]

philurame в сообщении #1383858 писал(а):

сильно(не наглядно) объясняет свойства 1)-4)

Ничего так запросы у Вас. А почему из дифференцируемости в области следует бесконечная дифференцируемость в ней - это вполне наглядно?

Жизнь полна чудес :)

[Vince Diesel]

По отдельности действительная и мнимая части это гармонические функции. У их графиков есть простая физическая интерпретация. Как гибкой пленки, натянутой на контур. В частности, пленка внутри области не может быть выше максимума на границе контура. Так как стремится сжаться и уменьшить свою площадь. А квадрат модуля — субгармоническая функция, для нее тоже есть принцип максимума.

philurame в сообщении #1383838 писал(а):

(и, кстати, можно ли как-нибудь просто доказать 4) пункт?)

Если $f=u+iv$, голоморфное поле задается как $\nabla u$ и образует контур, ограничивающий некоторую область, то градиент сопряженной функции $\nabla v$ на границе области направлен по нормали к области, интеграл по границе производной по нормали не равен нулю. А такой интеграл для гармонической функции должен быть равен нулю (так как поток через границу равен сумме зарядов внутри — следствие формулы Грина).

[Lia]

philurame в сообщении #1383838 писал(а):

1) если есть локальный максимум модуля в области то она просто постоянна;
2) если область - круг и на верхней полуокружности она ноль, то она тождественный ноль!;
3) если она ограничена и область - $\mathbb{C}$, то она постоянна;
4) У голоморфного векторного поля не бывает циклов.

Вопрос: как их представлять? они что-то вроде периожических функций?
(и, кстати, можно ли как-нибудь просто доказать 4) пункт?)

До сих пор так и не появился предмет обсуждения. Мне вот и вещественную прямую представить себе сложно, а бесконечность - так это вообще что-то невообразимое. Мы будем говорить об ограниченности фантазии или о чем?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не сформулирован предмет обсуждения,
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.