Две урны, один черный шар

[INGELRII]

Пусть у нас есть две урны. Сначала в первой лежит $n$ шаров, из них всего один черный, все остальные белые. Во второй урне сначала пусто. Мы начинаем доставать шары из первой урны по одному. Если шар белый, кладем его во вторую урну и продолжаем доставать шары из первой. Если шар черный, кладем его во вторую урну и прекращаем доставать из первой. Затем достаем один шар из второй.

Скажите, я правильно понимаю, что вероятность достать оттуда черный шар равна $1/n(1+1/2+1/3+...+1/n)$? То есть при увеличении $n$ асимптотика выходит $\frac{\ln{n}}{n}$?

[arseniiv]

У меня получилось

$$\frac 1{n!}\sum_{m=1}^n \frac{(n-m)!}m.$$

[mihiv]

А у меня совпало с ответом INGELRII: вероятность вытащить черный шар на $k$- ом шаге умножаем на $\frac 1k$ и суммируем по $k$.

[Yadryara]

mihiv, у меня тоже совпало.

INGELRII в сообщении #1383274 писал(а):

То есть при увеличении $n$ асимптотика выходит $\frac{\ln{n}}{n}$?

Только всё же лучше записать $\dfrac{\ln{n+\gamma}}{n}$

[Otta]

Ничем не лучше. Добавление постоянной в числителе на асимптотику не повлияет.

[arseniiv]

Хм, что я там намудрил, сейчас подумаю.