странный интеграл (об обозначении \int f(x) d^n x)

[spyphy]

Нужна помощь людей, знающих математику. Кое-какие идеи были, но я до сих пор совершенно не могу быть уверенным в их правильности, т.к. до конца не понимаю сути.
Вот, в одной из научных работ (американцы с китайцами писали) встретилась формула в таком вот виде:
y=$\int f(x) d^2x$
Вы такое встречали где-нибудь??? Маловероятно, что это опечатка, т.к. задача несет определенный, хотя и не совсем понятный физический смысл. Будут полезны любые ссылки на литературу.

[Echo-Off]

Готов поспорить на 50 рублей, что опечатка.

Либо авторы сами вводят определение такого интеграла

[RIP]

Никакой опечатки нет, просто $d^2x\equiv dx_1dx_2$ (это если $x=(x_1,x_2)$; не помню, где там принято индексы рисовать). Такое обозначение общепринято в физике (вроде бы). Так что, с Вас, Echo-Off, 50 рублей. (Хотя не исключено, что и правда опечатка.)

[spyphy]

Физики действительно иногда используют сокращение $dS=dxdydz=d^3r$, и это как раз тот случай. Вроде бы всё и нечего, но проблемы возникают, когда необходимо провести расчеты с использованием этих формул.
То есть, как я понимаю, правильно было бы записать интеграл в виде близком к
$\int \int f(E-x^2-y^2) dx dy $
и, указав некоторые пределы, загнать эту формулу в пакет Mathematica. Однако, эти вычисления дали какие-то совсем левые результаты.
Тогда мне предложили сделать следующее. В исходной формуле, которая дана нам как есть в виде типа $\int f_2(x^2)d^2x$ (x входит в интегрируемую ф-цию в квадрате), сделать замену типа z=x^2 и провести простое интегрирование $\int f_2(z)dz$. Внешне были получены результаты более-менее приемлемой формы, однако можно ли им доверять?

[RIP]

spyphy писал(а):

Тогда мне предложили сделать следующее. В исходной формуле, которая дана нам как есть в виде типа $\int f_2(x^2)d^2x$ (x входит в интегрируемую ф-цию в квадрате), сделать замену типа z=x^2 и провести простое интегрирование $\int f_2(z)dz$.

Я чего-то не понимаю. Если в интеграле фигурирует $d^2x$, то это значит, что $x$ - двумерный вектор. Как возвести в квадрат двумерный вектор? Или подразумевается скалярный квадрат? Тогда всё зависит от области интегрирования. Если интегрирование ведётся по всему $\mathbb R^2$, то получится $\pi\int_0^\infty f_2(z)\,dz$ (для удобства можно сначала перейти в полярную систему координат). А если область какая-нибудь кривая, то там чёрти что получится.

[spyphy]

RIP писал(а):

Я чего-то не понимаю. Если в интеграле фигурирует $d^2x$, то это значит, что $x$ - двумерный вектор. Как возвести в квадрат двумерный вектор? Или подразумевается скалярный квадрат?

Насколько я сам понимаю, интегрирование ведется по площади, представляющей собой круг некоторого радиуса, расположенно в плоскости XY в начале коор-т. Причем переменные x,y входят в интегрируемую ф-цию в виде x^2/m_x+y^2/m_y. Т.е., похоже на то, что перевод в полярные коор-ты будет самым рациональным методом. Один недостаток - придется сильно повозиться с постоянными кооэф-тами, т.к. не известно, каким образом авторы исходной формулы учитывали число \pi и прочее в самой ф-ции f(x,y). Ладно, повожусь пока с этим, может чего получится.