Интегрирование по частям в Лагранжиане

[qweqwe2017]

Всем здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться в переходе между двумя уравнениями. Допустим, на примере члена с константой $c_4$.

Здесь используется плоская метрика (см. в выражении для $X$; хотя и так понятно, так как производные не по многообразию, а частные).
Не понятно, где тут вообще интегрирование по частям. Вроде, должно получаться, что $\nabla_i\nabla^{i}\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi-\partial_\mu X \partial^{\mu} X= X(\nabla_i\nabla^{i}\varphi)^2-X\partial_\mu\partial_\nu\varphi\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi$.
Как тут из левого следует правое не понятно, помогите, пожалуйста!

[Munin]

У вас картинка не увеличивается.

[qweqwe2017]

Munin, спасибо, поправлено.

[Munin]

У меня вопрос, а что означает квадратик? В разных текстах его используют немного по-разному, да тут ещё и метрика.

-- 20.03.2019 13:18:20 --

А у вас ещё и $\nabla_i$ откуда-то...

[qweqwe2017]

Munin, как обычно, в смысле 4мерного лапласиана (давайте сразу тогда метрику считать как для 4мерного, там дальше, понятное дело, к это и переходят).

[Guvertod]

Действительно неясно, если метрика плоская, то зачем вам использовать знак ковариантной производной? И индексы должны быть одного алфавита, если обозначают это обычное ПВ.

Интегрирование по частям - переносите $\partial_\mu$ с ее аргумента в слагаемом на остальную его часть,добавляя минус. Так должно все получаться.
Выкладки сейчас не могу просмотреть(за компьютером буду вечером), распишите подробнее, что делаете и почему не сх-ся.

Может имеет смысл дать ссылку на статью, это гравитация Хоржавы же?

[qweqwe2017]

Guvertod, да, просто так расписал даламбертиан по привычке.
Принцип-то как пользоваться порядком лагранжиана ясен (я про то, как работает интегрирование по частям здесь, то есть как лишний член уходит). А вот на конкретном примере не понятно. Что делать с членом, где присутствует даламбертиан? Там ведь после интегрирования по частям надо считать производную от даламбертиана и что-то не очень всё сворачивается...
Смысла искать что-то в статье, я полагаю, никакого нет - это самая вводная часть )) и сразу же не въезжаю.

[Guvertod]

$X=-\partial^{\alpha}\varphi\partial_{\alpha} \varphi /2$ , знак $\equiv$ соответствует интегрированию по частям с выбрасыванием полной производной:

$\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi-\partial_\mu X \partial^{\mu} X= \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi-1/4\partial_\mu (\partial^{\alpha}\varphi\partial_{\alpha} \varphi ) \partial^{\mu} (\partial^{\nu}\varphi\partial_{\nu} \varphi) \equiv \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi+1/4 (\partial^{\alpha}\varphi\partial_{\alpha} \varphi ) ( \partial_\mu\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\partial_{\nu} \varphi+ \partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi \partial_\mu\partial_{\nu} \varphi+ \partial^{\nu}\varphi\partial_\mu\partial^{\mu}\partial_{\nu} \varphi+ \partial_\mu\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi \partial_{\nu} \varphi) = \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi+1/2(\partial^{\alpha}\varphi\partial_{\alpha} \varphi )(\partial_\mu\partial_\nu\varphi\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi + \partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\partial_{\nu}\varphi\partial^{\nu}\varphi) = \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi -X\partial_\mu\partial_\nu\varphi\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi + 1/2 \partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\partial_{\nu}\varphi\partial^{\nu}\varphi \partial^{\mu}\varphi\partial_{\mu} \varphi \equiv \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi-X\partial_\mu\partial_\nu\varphi\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi - 1/2( \partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\varphi \partial_{\nu}\partial^{\nu}\varphi \partial^{\mu}\varphi\partial_{\mu} \varphi+\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi \partial_{\nu}\partial^{\mu}\varphi\partial_{\mu} \varphi+\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi \partial^{\mu}\varphi\partial_{\mu}\partial_{\nu} \varphi ) = \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi-X\partial_\mu\partial_\nu\varphi\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi + X(\partial^{\alpha}\partial_{\alpha} \varphi)^2 - \partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\varphi\partial^{\nu}\varphi\partial^{\mu}\varphi\partial_\mu\partial_\nu\varphi= X(\partial^{\alpha}\partial_{\alpha} \varphi)^2-X\partial_\mu\partial_\nu\varphi\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi$

(здесь я неявно использовал замену букв индексов и "пронос" метрики через производные / поднятие-опускание индексов у них, надеюсь, это не вызывает трудность)

[qweqwe2017]

Guvertod, да конечно, то ещё занятие)
Спасибо Вам большое, теперь понятно стало!