Задачки из темы "Диф. исчисления"

[Tanawww]

Добавлено спустя 56 минут 52 секунды:

Brukvalub
Вот, что я нарешала. Условие продублирую, чтоб удобнее было:
Дана функция z = f(x;y) и две точки А $(х_{0};y_{0}$) B$(x_{1};y_{1}) $.Требуется:
1) вычислить значение $z_{1}$ в точке В;
2) вычислить приближенное значение вектора $z_{1}$ функции в точке В, исходя из значения $z_{0}$ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом;
4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x;y) в точке
$C (x_{0} y_{0} z_{0})$

$z=x^2+3xy-6y$ A(4;1) В(3.96;1.03)

Вот что я нарешала:
п.1) В уравнение подставляем значения $x_{1}, y_{1}$ (т.е. точка В) получаем:
$z_{1}=3.96^2+3*3.96*1.03-6*1.03=34.1$

п.2)
а)Так же находим значение $z_{0}$ в точке А(4;1)
$z_{0}=4^2+3*4*1-6*1=34$

б)теперь находим приращение:
дельта $x = x_{1}-x_{0} =-0,04$
дельта $y = y_{1}-y_{0}= 0,03$

в)Так... дифференциал функции будет:
dz=(2x+2y)dx+(3x-6y)dy

Дальше я запуталась....
г) $z_{1}-z_{0}$= =(2x+2у)*(-0,04)+(3x-6y)*0,03
Подставляем сюда значения $x_{0},y_{0} и z_{0}$?
Получается
$z_{1}=0,01*4-0,12*1+33,82=33,74$

и куда теперь девать z1 из пункта 1)?

д) dz=$z_{1}-z_{0}$= 33.74-34=-0.26

п.3) Находим относительную погрешность здесь надо разницу между точным значением и приближенным разделить на точное значение и умножить на 100%?
точное значение:
dz=34.1-34=0.1
приближенное значение:
$dz=z_{1}-z_{0}= 33.74-34=-0.26$
правильно? Или я перепутала точное с приближенным?
так, если правильно то:
погрешность =(0,1+0,26)*100%/0,1 =3,6%

п.4) Составляем уравнение касательной плоскости к поверхности
$z=x^2+3xy-6y$ в точке С (х0;у0;z0), т.е. С(4;1;34) так?
$z-z_{0}=A*(x-x_{0})+B*(y-y_{0})$.
ну это уравнения я поняла, а вот это:
$A=(dz/dx)(x_{0},y_{0}), B=(dz/dy)(x_{0},y_{0})$
тут что делать?
какую брать dz?

[Brukvalub]

Tanawww писал(а):

в)Так... дифференциал функции будет:
dz=(2x+2y)dx+(3x-6y)dy

Частные производные найдены неверно.

[Tanawww]

Brukvalub
С самого начала с вычислениями проблема....Только теперь погрешность не получается, вернее получается, но c минусом
п.1) В уравнение подставляем значения $x_{1}, y_{1}$ (т.е. точка В) получаем:
$z_{1}=3.96^2+3*3.96*1.03-6*1.03=21.74$

п.2)
а)Так же находим значение $z_{0}$ в точке А(4;1)
$z_{0}=4^2+3*4*1-6*1=22$

б)теперь находим приращение:
дельта $x = x_{1}-x_{0} =-0,04$
дельта $y = y_{1}-y_{0}= 0,03$

в)дифференциал функции будет:
dz=(2x+3y)dx+(3x-6)dy

Дальше я запуталась....
г) $z_{1}-z_{0}$= =(2x+3у)*(-0,04)+(3x-6)*0,03
Подставляем сюда значения $x_{0}, y_{0} и z_{0}$?
Получается
$z_{1}=0,01*4-0,12*1+21.82=21,71$

и куда теперь девать z1 из пункта 1)?

д) dz=$z_{1}-z_{0}$= 21.71-22=-0.29

п.3) Находим относительную погрешность здесь надо разницу между точным значением и приближенным разделить на точное значение и умножить на 100%?
точное значение:
dz=21.74-22=-0.26
приближенное значение:
$dz=z_{1}-z_{0}=21.71-22 =-0.29$
правильно? Или я перепутала точное с приближенным?
так, если правильно то:
погрешность =(-0.26+0,29)*100%/(-0.26) =-11.54%

п.4) Составляем уравнение касательной плоскости к поверхности
$z=x^2+3xy-6y$ в точке С (х0;у0;z0), т.е. С(4;1;22) так?
$z-z_{0}=A*(x-x_{0})+B*(y-y_{0})$.
ну это уравнения я поняла, а вот это:
$A=(dz/dx)(x_{0},y_{0}), B=(dz/dy)(x_{0},y_{0})$
тут что делать?
какую брать dz?

[Tanawww]

Brukvalub
Теперь и Вы куда-то пропали(

[Алексей К.]

Люди пропадают и от того, что у них может быть лекция, семинар, семья --- кучи причин.
Скоро вернётся. А я пропаду (поеду в аэропорт, если это важно).

Цитата:

$z_{1}=3.96^2+3*3.96*1.03-6*1.03=21.74$

Что стоит привести точное значение, 21.7380?

Цитата:

и куда теперь девать z1 из пункта 1)?

У Вас должно быть $z_1$ точное и $\tilde z_1$ приближённое.
Соответственно, $\delta=z_1-z_0$ и $\tilde\delta=\tilde z_1-z_0$.

Цитата:

п.3) Находим относительную погрешность здесь надо разницу между точным значением и приближенным разделить на точное значение и умножить на 100%?
точное значение:
dz=21.74-22=-0.26
приближенное значение:
$dz=z_{1}-z_{0}=21.71-22 =-0.29$
правильно? Или я перепутала точное с приближенным?
так, если правильно то:
погрешность =(-0.26+0,29)*100%/(-0.26) =-11.54%

Не бывает эта штука отрицательной! Посмотрите формулы --- нет ли там где-то модулей?

Добавлено спустя 5 минут 10 секунд:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $x_0,y_0,z_0$ имеет вид

$$a(x-x_0)+b(y-y_0) +c(z-z_0)=0,$$

$(a,b,c)$ --- вектор нормали к лоскости. Его можно получить как векторное призведение двух касательных векторов.
У Вас там где-то должны быть готовенькие формулки для вектора нормали к поверхности, заданной как $z=f(x,y)$ либо как $F(x,y,z)=0$. Поищите пока

Добавлено спустя 14 минут 25 секунд:

Tanawww писал(а):

п.4) Составляем уравнение касательной плоскости к поверхности
$z=x^2+3xy-6y$ в точке С (х0;у0;z0), т.е. С(4;1;34) так?
$z-z_{0}=A*(x-x_{0})+B*(y-y_{0})$.
ну это уравнения я поняла, а вот это:
$A=(dz/dx)(x_{0},y_{0}), B=(dz/dy)(x_{0},y_{0})$
тут что делать?
какую брать dz?

Либо так; здесь должны быть частные производные $A=\frac{\partial z}{\partial x}(x_{0},y_{0}), B=\frac{\partial z}{\partial y}(x_{0},y_{0})$.
Вычисляете (уже вроде проделано), подставляете...

[Tanawww]

Алексей К.
Да, извините, я действительно не одна Но Вам спасибо,что откликнулись

Алексей К. писал(а):

Цитата:
п.3) Находим относительную погрешность здесь надо разницу между точным значением и приближенным разделить на точное значение и умножить на 100%?
точное значение:
dz=21.74-22=-0.26
приближенное значение:

правильно? Или я перепутала точное с приближенным?
так, если правильно то:
погрешность =(-0.26+0,29)*100%/(-0.26) =-11.54%

Не бывает эта штука отрицательной! Посмотрите формулы --- нет ли там где-то модулей?

Здесь, видимо, сама величина берется по модулю.

Алексей К. писал(а):

У Вас там где-то должны быть готовенькие формулки для вектора нормали к поверхности, заданной как либо как . Поищите пока

Я нашла вот, что
"Касательная плоскость к поверхности z=f(x,y) представляется уравнением

Z-z=A*(X-x) +B*(Y-y)
где А и В - соответствующие значения частных производных dz/dx и dz/dy."

Это верно?

[Алексей К.]

Да, это возможный вариант, в самом конце предыдущего сообщения я его упомянул.
В чём трудность? Вроде частные производные Вы уже брали, их значения в данной точке вычисляли...

Добавлено спустя 5 минут 31 секунду:

Tanawww писал(а):

3.Найти нибольшее и наименьшее значение функций z=f(x;y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств.

$ z=3-2x^2-xy-y^2 $ ; x<=1; y>=0; y<=x

Область D будет ввиде треугольника. Если находить критические точки,то надо брать производные по х и у. В общем там получаются х и у в квадрате, я составила систему неравенств и запуталась с вычислением корней. Помогите решить.

Свои запутывания надо сюда выкладывать. Лучше никуда не спешить и делать это маленькими порциями, потихоньку: так проще цитировать и двигаться вперёд. Вечером подсказыватели активизируются.

Для начала я бы поискал наибольшие и наименьшие значания вообще (потом проверил бы, попадают ли они в треугольник). Потом границы треугольника обследовал бы. По границам это будут функции одной переменной.

[Tanawww]

Алексей К.
Теперь все понятно)))Спасибо!

[Brukvalub]

Вот Вы удивляетесь, что Ваши собеседники один за другим пропадают. А все дело в том, что невыносимо скучно раз за разом писать человеку: "Выучите, как брать частные производные" и т.п. банальности.
Мне просто становится интересно, как Вы умудряетесь ТАК наворочать в простой ситуации:

Tanawww писал(а):

1) критические точки - находим частные производные
$z'_{x}=8xy-3x^2y-2xy^2=0$
$z'_{y}=4x^2-x^3-2x^2y=0$

Если это частные производные исследуемой функции, то я - посол Брунея на Тау-Ките.

[Tanawww]

Brukvalub
О-ой!!! Вы извините, заучилась......я не ту функцию сюда вписала)) Сейчас исправлюсь

Добавлено спустя 14 минут 8 секунд:

Условие:
Найти наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой области D, заданной системой неравенств.
x<=1; y>=0; y<=x

Решение:
Область D будет ввиде треугольника.

1) критические точки - находим частные производные
$z'_{x}=-4x-y$
$z'_{y}=-x-2y$

Найдем корни:
y=4x
-9x=0 =>x=0 y=0 => (0;0)

М(0;0) =>z=3


Переклинило... вторая половина, кажется, та, что надо=)

Значения функции на границах треугольника:
x=1 => z'=-2y-1=0 =>y=1/2 => z(1;1/2) = -1.75

y=0 =>z'=-4x =0 => x=0 => z(0;0)= 3

y=x => z'=-8x=0 =>z=3

Еще какие-нибудь точки можно найти?
Если нет, то max=3 min=-1.75

[Brukvalub]

Tanawww писал(а):

Значения функции на границах треугольника:
x=1 => z'=-2y-1=0 =>y=1/2 => z(1;1/2) = -1.75

Это тоже неверно.

[Tanawww]

Brukvalub

минус пропустила
x=1 => z'=-2y-1=0 =>y=-1/2 => z(1;-1/2) =1,25

[Brukvalub]

Tanawww писал(а):

Brukvalub

минус пропустила
x=1 => z'=-2y-1=0 =>y=-1/2 => z(1;-1/2) =1,25

А разве хотя бы одна точка области имеет отрицательную координату у ?

[Tanawww]

Brukvalub писал(а):

А разве хотя бы одна точка области имеет отрицательную координату у ?

Нет.
А можно еще найти
Z(1.0)=1
z(1.1)=-1?

[Jnrty]

Jnrty:

Tanawww, предупреждение за то, что не используете \TeX для записи формул, как это принято на форуме. Тем более, что Вы умеете это делать. И не используйте звёздочки в качестве знака умножения, это в математике не принято. Если Вам очень нужен знак умножения, пишите \cdot (например, $3\cdot 5$).
Если не исправитесь, тема переедет в карантин.
Обозначения всяких значков можно посмотреть здесь и здесь.