2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 13:24 
Решаю следующую задачу. Даны две последовательности. Первая не имеет предела, вторая сходится. Надо исследовать наличие предела у произведения последовательности.

Пример, когда предел есть, я привёл. Проблема со случаем, когда предела нет. Пример: последовательность $(-1)^n\cdot(1-\frac{1}{n})$. Как доказать, что у этой последовательности нет предела? Аналогия с доказательством $(-1)^n$ не получается, при суммировании есть выражение, зависящее от $n$.
.

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 13:32 
Частичные пределы посмотрите. Например. Много способов, в том числе и по определению.

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 13:40 
maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):
при суммировании есть выражение, зависящее от $n$
Что вы там, стесняюсь спросить, суммируете?

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 14:26 
Аватара пользователя
maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):
Проблема со случаем, когда предела нет.

если от последовательностей не требуется ограниченности, то есть совсем простой пример не-сходимости

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 14:45 
iifat в сообщении #1382264 писал(а):
maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):
при суммировании есть выражение, зависящее от $n$
Что вы там, стесняюсь спросить, суммируете?


В доказательстве про $(-1)^n$ берутся номера $2N$ и $2N+1$. Когда мы суммируем, чтобы получить "неравенство треугольника", то получаем $|(1-a) + (a+1)| = 2$. В этом примере получается $|\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n}|$

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 15:34 
maxim555 в сообщении #1382277 писал(а):
В этом примере получается
Недопол. Не лучший вы способ доказательства выбрали (почитайте лучше внимательнее письмо Lia), да к тому же явно что-то не то пишете.

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 15:49 
Аватара пользователя
maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):
Пример: последовательность $(-1)^n\cdot(1-\frac{1}{n})$. Как доказать, что у этой последовательности нет предела?

на эту последовательность-произведение можно посмотреть как на последовательность-сумму, может быть легче будет...

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 15:53 
Аватара пользователя
maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):
Аналогия с доказательством $(-1)^n$ не получается, при суммировании есть выражение, зависящее от $n$.

А что так? Пусть зависит от $n,$ но частичный предел-то можно найти.
А, и зачем суммировать? Раз последовательности.

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение16.03.2019, 15:56 
Еще так можно: пусть $a_n$ сходится, тогда чему равен $\lim \limits _{n\to \infty }(a_n-a_{n-1})$?

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение17.03.2019, 21:15 
mihiv в сообщении #1382289 писал(а):
Еще так можно: пусть $a_n$ сходится, тогда чему равен $\lim \limits _{n\to \infty }(a_n-a_{n-1})$?


Таким способом получилось. Он равен либо 2, либо -2 в зависимости от четности, но не 0.

UPD. А не получаем ли мы противоречие на том шаге, что у нас последовательность имеет 2 разных предела?

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение18.03.2019, 07:44 
Аватара пользователя
maxim555 в сообщении #1382500 писал(а):
Он равен либо 2, либо -2

Вы не поняли вопроса. Спрошу иначе. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a.$ Можно ли отсюда (не зная ничего более о последовательности) извлечь информацию о $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\,?$

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение18.03.2019, 09:20 
bot в сообщении #1382564 писал(а):
maxim555 в сообщении #1382500 писал(а):
Он равен либо 2, либо -2

Вы не поняли вопроса. Спрошу иначе. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a.$ Можно ли отсюда (не зная ничего более о последовательности) извлечь информацию о $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\,?$

Будет со знаком минус, $-a$.

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение18.03.2019, 10:45 
Аватара пользователя
maxim555 в сообщении #1382575 писал(а):
Будет со знаком минус, $-a$

Ещё раз, теперь с подчёркиванием
bot в сообщении #1382564 писал(а):
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a.$ Можно ли отсюда (не зная ничего более о последовательности) извлечь информацию о $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}\,?$

Надеюсь не придётся ещё и жирным шрифтом выделять?

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение18.03.2019, 12:33 
Аватара пользователя
maxim555 в сообщении #1382259 писал(а):
Проблема со случаем, когда предела нет.
У одной последовательности предела нет, а у другой он есть, так как другая равна $a_n=1$.

 
 
 
 Re: Доказать, что у последовательности нет предела
Сообщение18.03.2019, 12:52 
maxim555 в сообщении #1382500 писал(а):
А не получаем ли мы противоречие на том шаге, что у нас последовательность имеет 2 разных предела?

В вещественном (или комплексном) случае ограниченная последовательность расходится тогда и только тогда, когда у неё есть не менее двух разных частичных пределов. Это полезно знать.

Однако Вас ведь затрудняют доказательства расходимости. А для них достаточно утверждения только в одну сторону: если есть два разных частичных предела, то сходимости нет. Или, что эквивалентно: если последовательность сходится, то к тому же сходится и любая её подпоследовательность. Это -- совершенно элементарное утверждение (в отличие от обратного); следует оно только и непосредственно из определения предела. Его у вас не могло не быть, и это -- один из основных приёмов доказательства расходимости.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group