Нормировать векторы

[Helper]

Из учебника "Справочник по высшей математике" 1999 Минск. Страница 179.

11.6 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных.

В примере промежуточно находят собственные векторы $u=(-(\frac{\sqrt6}{2})t,t)$ $v=((\frac{\sqrt6}{3})t,t)$
и потом положив $t_1=-2$ $t_2=3$ получили $u=(\sqrt6,-2)$ $v=(\sqrt6,3)$ нормализовав эти векторы записали их координаты в столбцы составив матрицу В
$\sqrt{\frac35} \sqrt{\frac25}$
$-\sqrt{\frac{2}{5}} \sqrt{\frac35}$

Так вот вопрос, как так получилось? Как нормировать векторы? Найти их модули? Расскажите, куда хоть копать? Второй день бьюсь ...

[Бодигрим]

Чтобы нормировать вектор, необходимо разделить его покомпонентно на его модуль. Например, в ваших обозначениях $|u|=\sqrt{6+4}=\sqrt{10}$, тогда $u_1=(\sqrt{6/10},-2/\sqrt{10})$, что и совпадает с первым столбцом приведенной вами матрицы.

[Helper]

Большое спасибо!
Чё то я туплю.

И если не сложно, самое главное: как из всего этого в итоге получается кононический вид:
$y^2_1+11y^2_2$ ?

[Бодигрим]

Приведите тогда пример из учебника целиком - он у вас без начала и без конца.

[Helper]

Начало примера:
найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду:
$f(x_1,x_2)=5x^2_1+4\sqrt6x_1x_2+7x^2_2$

Ответ в предыдущем моем сообщении.

Буду премного благодарен.

[Бодигрим]

Замечательно, а чему оказались равны векторы $y_1$ и $y_2$? Это пронормированные $u$ и $v$?

Матрица квадратичной формы $f$ в координатах $x_1$ и $x_2$ - это $A=\left( \begin{matrix} 5 & 2\sqrt6\\ 2\sqrt6 & 7 \end{matrix} \right)$. Тогда матрица этой же формы, но в других координатах $y=Bx$, имеет вид $BAB^{-1}$. Найдя ее элементы, можем вернуться к записи формы в виде многочлена от $y_1$ и $y_2$.

[Helper]

То есть получается надо найти $BAB^{-1}$
при $det B=1$

$$A=\left | \begin{array}{cc} 5&2\sqrt6\\ 2\sqrt6&7 \end{array} \right |$$

$$B=\left | \begin{array}{cc} \sqrt{\frac35}&\sqrt{\frac25}\\ -\sqrt{\frac25}&\sqrt{\frac35} \end{array} \right |$$

$$B^{-1}=\left | \begin{array}{cc} \sqrt{\frac35}&-\sqrt{\frac25}\\ \sqrt{\frac25}&\sqrt{\frac35} \end{array} \right |$$

Но чё то как то сложно получается. В примере такого вроде нет.

[Бодигрим]

Если мы уже знаем, что в координатах векторов $y_1$ и $y_2$ квадратичная форма должна быть диагональной, то эти векторы будут собственными для исходной матрицы, так что для соответствующих им собственных чисел $a$ и $b$ (найдите их!) должно выйти $ay_1^2+by_2^2=5x_1^2+4\sqrt6 x_1x_2+7x_2^2$.

Можно и просто подобрать эти коэффициенты. Если $y_1={1\over\sqrt5}(\sqrt3x_1-\sqrt2x_2)$, то

$$y_1^2={ 3x_1^2-2\sqrt6 x_1x_2 +2x_2^2\over5}$$

. Далее,

$$y_2^2={ 2x_1^2+2\sqrt6 x_1x_2 +3x_2^2\over5}$$

. Тогда $3a+2b=25$, $2b-2a=20$, $2a+3b=35$. Очевидно, $a=1$ и $b=11$ удовлетворят все трем уравнениям.

[Helper]

Спасибо большое. Начинает проясняться ситуация.
Только никак не пойму, откуда ты взял:
$3a+2b=25$, $2b-2a=20$, $2a+3b=35$?

[Бодигрим]

Я приравнял коэффиценты при $x_1^2$, $x_1x_2$ и $x_2^2$ соответственно в тождестве $ay_1^2+by_2^2=5x_1^2+4\sqrt6 x_1x_2+7x_2^2$ и домножил их на 5, чтобы избавиться от знаменателя.