Базис в пространстве функций на сфере

[LMA]

Широко известен ортонормированный базис (норма $p=2$) из функций вида $P_n^m(\cos(\theta)) \sin(m \varphi)$, $P_n^m(\cos(\theta)) \cos(m \varphi)$. Каждому $n$ соответствует $2n+1$ базисных элементов, причем эти элементы имеют разные нормы $p={\infty}$. Известен ли какой-нибудь альтернативный ортонормированный базис (норма $p=2$), в котором элементы, соответствующие одному $n$, имеют одинаковую норму $p={\infty}$? Хотелось бы получить базис, элементы которого имеют как можно меньшую норму $p={\infty}$.

Собственная попытка решения. Для каждого $n$ (группа из $2n+1$ базисных элементов) выполняем следующую операцию: берём два элемента с наибольшей и наименьшей нормами $p={\infty}$ и поворачиваем базис в плоскости этих двух векторов (путём домножения на синусы и косинусы) до тех пор, пока соответствующие две нормы не выровняются. Продолжаем процесс до тех пор, пока все $2n+1$ норм $p={\infty}$ не выровняются.
Правда пока непонятно как находить норму $p={\infty}$.

[jekyl]

А разделить на норму?

$P_n^m$ -- многочлены Лежандра? Это вроде бы зональные функции на сфере, зависят от расстояния. А обычную функцию по другим раскладывают, можно в Стейне Вейсе прочитать.

[LMA]

jekyl
Спасибо за Стейна и Вейса! В книжке много полезной информации. Хотя при беглом просмотре ответа на свой вопрос я не нашел.
Да, $P_n^m$ - присоединенные многочлены Лежандра. Интересуют функции, зависящие от направления.
Я рассматриваю две нормы: $L^2$-норму и $L^{\infty}$-норму. При домножении на скаляр меняются обе нормы. Интересен базис, в котором для каждого $n$ базисные векторы имеют одинаковые $L^2$-нормы и одинаковые $L^{\infty}$-нормы.

[jekyl]

LMA в сообщении #1381908 писал(а):

Интересен базис, в котором для каждого $n$ базисные векторы имеют одинаковые $L^2$-нормы и одинаковые $L^{\infty}$-нормы.

Зачем? Скорее всего, такое не получится.

[LMA]

В случае использования стандартного базиса есть выделенное направление - ось $Oz$. И получается, что ресурсы распределены как-то неравномерно, базисные векторы неравноценны. Допустим, известны значения некоторой функции в $N$ точках, распределенных примерно равномерно по сфере. Требуется найти разложение этой функции по базисным векторам. Не получится ли так, что на экваторе функция будет "лучше" аппроксимироваться, чем на полюсах (или наоборот)?