Разложение рациональной дроби на простейшие

[AlexeyM]

Otta в сообщении #1381040 писал(а):

И когда говорят о дробно-рациональной функции, имеют в виду очень часто или даже чаще всего не значения дроби при всех допустимых значениях аргумента, а объект вида многочлен/многочлен. Равенство двух функций с одинаковыми знаменателями-многочленами понимается именно в смысле равенства числителей-многочленов.

Спасибо, за ваш ответ, в таком понимании действительно картина меняется. Насколько я понимаю, это схоже с записью канонического уравнения прямой: когда мы пишем $\frac{x-5}{0}=\frac{y}{1}$ это не означает операцию деления на ноль. Эта аналогия в чём-то верна?

Я почитал главу по указанной ссылке, и в самом начале там как раз и пишут о той формальности, на которую вы указали. Такой подход для меня, вынужден признаться, немного внове, я всегда понимал дробно-рациональные функции именно как функции.

Насколько я понимаю, Бугров даёт именно трактовку равенства функций, поэтому исключает ноль знаменателя из множества, на котором равенство многочленов истинно. Если же понимать разложение дроби в алгебраическом ключе, то, по идее, указание про исключение этой точки излишне. Я верно понимаю?

-- Пн мар 11, 2019 00:30:44 --

Someone, если там нет предельного перехода, то зачем же авторы дают отсылку к непрерывности функций в обеих частях равенства? Я полагал, что непрерывность в данном случае посредством предельного перехода даёт формальную возможность подстановки. Или указание на непрерывность говорит об иной логической цепочке?

[Someone]

AlexeyM в сообщении #1381057 писал(а):

зачем же авторы дают отсылку к непрерывности функций в обеих частях равенства?

Ну а почему бы не сослаться, если это оправдывает подстановку "исключительного" значения? Я же просто сказал, что этот вопрос решается уже на уровне алгебры. Один раз оправдали, запомнили и больше об этом не упоминаем. Но если Вы считаете нужным, то в своих текстах можете каждый раз приводить подробное обоснование.

[AlexeyM]

Someone, я имею в виду немного иное - как именно эта ремарка про непрерывность оправдывает подстановку "исключительного" значения, если не имеется в виду предельный переход? Т.е. что именно должно, по мнению авторов этой книги, скрываться между словосочетаниями "так как функции в обеих частях равенства непрерывны" и "можем подставить $x=1$"? Я понял это как указание на переход к пределу, который, ввиду непрерывности, равен как раз значению в точке. Или авторы имели в виду иное?

Про алгебру я немного осознал - штудирую Фаддеева, на которого была ссылка от Otta :)

[Someone]

AlexeyM в сообщении #1381064 писал(а):

как именно эта ремарка про непрерывность оправдывает подстановку "исключительного" значения, если не имеется в виду предельный переход?

Очевидно, имеется в виду теорема о том, что если две функции непрерывны в некоторой точке и совпадают на множестве, для которого эта точка предельная, то они совпадают и в предельной точке. Аккуратную формулировку и доказательство ищите в учебнике.

[AlexeyM]

Someone, понял, благодарю за пояснение.

[AlexeyM]

Someone, я просмотрел книгу Бугрова Никольского до этого замечания о непрерывности - про равенство двух функций в предельной точке теоремы нет. Т.е. не могут же авторы опираться на теорему, которой не указывали :) Может, нечто иное имеется в виду в отсылке к непрерывности?

В книге там приводятся классическое определение непрерывности, теоремы о сумме, разности и т. д., теорема о непрерывности сложной функции, ограниченность - но этой теоремы о равенстве функций нет. У Никольского в курсе матана (у него тоже есть отсылка к возможности подстановки удобного значения ввиду непрерывности) тоже этой теоремы о равенстве функций я не обнаружил.

[Someone]

AlexeyM в сообщении #1381084 писал(а):

теоремы о равенстве функций я не обнаружил.

Я не в курсе, как там определяется непрерывность функции в точке. Она может определяться через предел, тогда нужна только ссылка на теорему о единственности предела. Она может определяться сама по себе, тогда достаточно сравнить определения предела и непрерывности (иногда это формулируется в виде теоремы) либо просто доказать, что значение непрерывной функции в предельной точке однозначно определяется значениями в остальных точках. Это всё настолько тривиально, что авторы учебников могут и не разжёвывать такие рассуждения.

Вопрос-то совершенно элементарный, чего Вы в панику впадаете? Подумайте немного над определениями, и всё будет ясно.

[AlexeyM]

Someone, там даётся в переформулировке такое определение:



И далее говорится о том, что многочлен - функция непрерывная (на основании теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций). Если пользоваться этим определением, и вернуться к равенству многочленов $P(x)=Q(x)$, которое у авторов было указано как имеющее место для всех значений переменной, кроме единицы, то ввиду непрерывности, по идее, можем записать следующее:

$$ P(1)=\lim_{x\to{1}}P(x)=\lim_{x\to{1}}Q(x)=Q(1) $$

Т.е. равенство при $x=1$ тоже имеет место, при этом как раз следует из определений. Но зачем тут нужна теорема о единственности предела я не совсем понимаю. Имеется в виду то, что иных значений, кроме $P(1)$, предел $\lim_{x\to{1}}P(x)$ не имеет?

Определение предела и непрерывности я помню: они разнятся, по сути, лишь требованием $x\neq{x_0}$ у предела и отсутствие такового требования у непрерывности.

Someone в сообщении #1381106 писал(а):

Это всё настолько тривиально, что авторы учебников могут и не разжёвывать такие рассуждения.

Вопрос-то совершенно элементарный, чего Вы в панику впадаете? Подумайте немного над определениями, и всё будет ясно.

(Оффтоп)

Ну, о способности многих авторов математических книг именовать очевидностью всё то, что очевидно им самим, не задумываясь о читателе, я в курсе Просто при изучении одних разделов человеку говорят, мол, смотри - это равенство с дробями, сразу исключи нули знаменателя и даже не думай их касаться в решении. А в ином куске материала говорят, мол, это тоже равенство с дробями, но теперь мы без проблем будем в ходе решения их использовать. Мне кажется, что некоторые вопросы тут неизбежны

[Lia]

AlexeyM
Извините за вторжение, то, что Вы пишете сейчас, Вы писали и на первой странице. Объяснения Вам были даны. Причем с разных точек зрения. Вы вернулись на исходные позиции. Если Вы завели тему для того, чтобы отстаивать, что многочлен непрерывен в точке на нескольких страницах - право же, оно того не стоит. Мы все тут с Вами согласны. Переходите к пределу, что угодно еще. Вы ж не слушаете.

Источники, где обо всем этом можно будет прочитать, Вы привели сами. Вам даже добавили, помнится, каких-то еще. Разбирайтесь.

Тема закрыта.