Когда последовательность стремится к нулю и как?

[Кролик]

Уважаемые математики.
Может быть кто-нибудь из вас видел готовую тему или встречал этот пример в книгах...
Про положительную последовательность $\{V_s\}$ известно, что она удовлетворяет неравенствам:

$$ V_s \le V_{s-1}\,\exp\left\{-\varepsilon_1 \exp\left\{-\varepsilon_2\sum\limits_{t=1}^{s-1}V_t \right\}\right\}\, ,\qquad V_0 \le 1\, , $$

при некоторых $0<\varepsilon_1<1$ и $0<\varepsilon_2<1$. При каком соотношении этих параметров последовательность будет стремиться к нулю и с какой скоростью?
Заранее большое спасибо!

[Кролик]

В принципе, внешняя экспонента необязательна. Сходимость можно исследовать и для условия:

$$ V_s \le V_{s-1}\left\{1-\varepsilon_1 \exp\left\{-\varepsilon_2\sum\limits_{t=1}^{s-1}V_t \right\}\right\}\, ,\qquad V_0 \le 1\, . $$

Сопряжённое этой задаче дифференциальное уравнение 2-ого порядка выглядит так:

$$ \ddot V - \frac{\dot V^2}{V} + \varepsilon_2V^2 = 0 \, ,\qquad 0 < V(0) \le 1\, ,\qquad \dot V(0) = -\varepsilon_1V(0)\, . $$

При каком стечении параметров решение уравнения стремиться к нулю при $t\to +\infty$ и с какой скоростью?

[pogulyat_vyshel]

Что касается дифура, то тут целесообразно перейти к "эквивалентной" системе

$$\dot U=-\varepsilon_2V,\quad \dot V=UV$$

которая имеет первый интеграл $V=-\frac{ U^2}{2\varepsilon_2}+const$

[Кролик]

pogulyat_vyshel в сообщении #1380548 писал(а):

Что касается дифура, то тут целесообразно перейти к "эквивалентной" системе

$$\dot U=-\varepsilon_2V,\quad \dot V=UV$$

которая имеет первый интеграл $V=-\frac{ U^2}{2\varepsilon_2}+\operatorname{const}$

Прошу прощения, при выводе сопряжённого диффура я допустил ошибку. Правильное уравнение такое:

$$ \ddot V + \dot V\left(\varepsilon_2V - \frac{\dot V}{V}\right)= 0 \, ,\qquad 0 < V(0) \le 1\, ,\qquad \dot V(0) = -\varepsilon_1V(0)\, . \eqno{(1)} $$

Что известно про поведение решения задачи Коши (1)?

Эквивалентная система в данном случае будет такая:

$$\dot V=UV\, ,\quad \dot U=-\varepsilon_2VU\, .\eqno{(2)}$$

Однако, поведение в окрестности нуля по линейному приближению исследовать нельзя, т.к. матрица Якоби вырождается. Что делать в таких случаях?

[mihiv]

Уравнение (1) переписывается как:

$$\dfrac {\ddot VV-\dot V^2}{V^2}=-\varepsilon _2\dot V.$$

Или:

$$\dfrac d{dt}\left (\dfrac {\dot V}V\right )=-\varepsilon _2\dot V$$

и интегрируется в явном виде.

[Кролик]

mihiv в сообщении #1380574 писал(а):

Уравнение (1) ... интегрируется в явном виде.

-- Огромное спасибо! Этого я не заметил...
Критерий сходимости к нулю со скоростью геометрической прогрессии выходит такой: $\varepsilon_1 > \varepsilon_2\cdot V_0$ ?

[mihiv]

Кролик в сообщении #1380543 писал(а):

Сходимость можно исследовать и для условия:

$$ V_s \le V_{s-1}\left\{1-\varepsilon_1 \exp\left\{-\varepsilon_2\sum\limits_{t=1}^{s-1}V_t \right\}\right\}\, ,\qquad V_0 \le 1\, . $$

Из этого условия следует, что , если ряд $\sum \limits _{t=1}^{\infty }V_t$ сходится, то последовательность $V_s$ стремится к 0 со скоростью геометрической прогрессии (или быстрее) для любых $0<\varepsilon _1, \varepsilon _2<1$.

[mihiv]

mihiv в сообщении #1380621 писал(а):

Из этого условия следует, что , если ряд $\sum \limits _{t=1}^{\infty }V_t$ сходится, то последовательность $V_s$ стремится к 0 со скоростью геометрической прогрессии (или быстрее) для любых $0<\varepsilon _1, \varepsilon _2<1$.

Отсюда, в свою очередь, следует, что последовательность $V_s$ не может стремиться к 0, например, как $\dfrac 1{s^{\delta }},\delta >1$( это медленнее, чем геометрическая прогрессия), потому что соответствующий ряд $\sum \limits _{t=1}^{\infty }V_t$ сходится, и мы получим противоречие с предыдущим утверждением.
Остается неясным, что будет, если ряд $\sum \limits _{t=1}^{\infty }V_t}$ расходится.