Траектории системы диф уравнений

[topSC]

Рассмотрим систему с гладкими $f,g$:

$$\dfrac{du(t)}{dt}=f(u, v)u, \quad \dfrac{dv(t)}{dt}=g(u, v)v$$

Как увидеть, что все траектории, которые начинаются в первом квадранте, $u(0)>0, v(0)>0$, будут оставаться в первом квадранте для $t>0$ ?

Как показать, что $\{ (u, v) \colon u = 0, v \geqslant 0 \} \cup \{ (u, v) \colon v = 0, u \geqslant 0 \}$ не имеет пересечений с траекториями?

[pogulyat_vyshel]

с помощью теоремы существования и единственности

[topSC]

pogulyat_vyshel в сообщении #1380466 писал(а):

с помощью теоремы существования и единственности

можно увидеть, что все траектории останутся в первом квадранте? Не понял идею.

[Someone]

topSC в сообщении #1380478 писал(а):

можно увидеть, что все траектории останутся в первом квадранте?

Именно так.
Но рассуждение столь простое, что практически любая подсказка сверх уже сказанного может быть интерпретирована модератором как полное решение простой учебной задачи. С соответствующими дисциплинарными выводами. Так что подумайте ещё сами.

[Pphantom]

Ну одну подсказку, наверное, сделать можно: предложить порассуждать от противного. Пусть при некотором $t=t_0 >0$ траектория пересекла, например $u=0$. Что будет дальше?

[topSC]

Сейчас, $du/dv=fu/gv$, а это $0$ при $u=0$ и $\infty$ при $v=0$, то есть векторное поле касается линий границы первого квадранта, так?

[Slav-27]

Наверно, лучше сказать, что при $u=0$ у поля нулевая $u$-компонента, а при $v=0$ -- нулевая $v$-компонента. Так что да, касается.