Положительная определенность блочной матрицы

[mxa2]

Пусть $A$ и $B$ - положительно-определенные симметрические матрицы $n\times n$. Каким условиям должна удовлетворять ненулевая матрица $C$ той же размерности, чтобы блочная матрица

$$\begin{bmatrix} A & C\\ C & B \end{bmatrix}$$

была положительно-определенной?

Нет идеи. Буду признателен за любую.

[vpb]

mxa2
Прежде всего, симметрическая блочная матрица имеет общий вид

$$\begin{pmatrix} A & C \\ C^t & B \end{pmatrix}$$

, где $A$ и $B$ --- симметрические, $C$ любая, $C^t$ --- транспонированная к $C$. Т.е. или Вы, скорее всего, знак транспонирования опустили, или у Вас $C$ симметрическая, а размеры всех трех матриц $A$, $B$ и $C$ совпадают.

Собственно же на вопрос ответить нельзя. Нет каких-то внятных и красивых условий на $C$, которые бы обеспечивали положительную определенность. Только проверить, что вся матрица в целом положительно определена (для чего достаточно проверить, что все главные миноры положительны), но это практически трудно осуществимо.

Впрочем, нет. Когда речь идет о численных матрицах, самый простой способ проверить положительную определенность --- попытаться построить разложение Холецкого. Если это срабатывает, т.е. в ходе вычисления не возникает необходимости извлечь корень из отрицательного числа, то матрица положительно определена, а иначе нет.

[mxa2]

Спасибо!