Расчёт троса на разрыв

[Mikula]

На горизонтальной поверхности покоятся два тела массами $m_1$ и $m_2$ (см. рис.). Они соединены между собой стальным тросом. Вначале трос свободно провисает в воздухе.



Действуем на тела постоянными силами: $F_1$ и $F_2$ соответственно. Силы разводят тела в разные стороны. Трос натягивается, когда тела прошли пути $S_1$ и $S_2$. Трением пренебречь.

Вопрос: какова наибольшая величина сил, растягивающих трос? (Надо думать, пиковые силы действуют в момент полного натяжения троса?) Если в условии чего-то не хватает для практического расчёта троса на разрыв, пожалуйста, введите эти параметры сами. Меня интересует конечная формула или, если формулы нет, алгоритм расчёта.

Конечная моя цель - расчёт троса на разрыв.

[Pphantom]

Пока что из условия следует только одно - начальное расстояние между телами меньше длины троса на $S_1+S_2$. Ну и поскольку разные добавки к условию делают результат разным, то смысла в такой деятельности немного.

[Walker_XXI]

Pphantom в сообщении #1379943 писал(а):

Ну и поскольку разные добавки к условию делают результат разным, то смысла в такой деятельности немного.

Думаю, всё не так грустно. Из неопределённых параметров мне видится только коэффициент упругости троса. Предельная сила натяжения, при которой трос порвётся, я так понимаю, известна. Задача лишь в сравнении с ней максимального натяжения троса.

Ну и хотелось бы видеть от автора вопроса, что он уже сделал, какие соображения имеет.

[Mikula]

Walker_XXI в сообщении #1379947 писал(а):

хотелось бы видеть от автора вопроса, что он уже сделал, какие соображения имеет

Соображения такие.

1) Находим скорости $v_1$ и $v_2$ тел до "удара".
2) Предполагая, что система после удара начнёт двигаться в одном направлении со скоростью $v$, находим эту скорость $v$.
3) Далее у меня сомнения.

[kvo.spb]

Я на форуме новичок, правила по использованию ТеХа прочитал, постараюсь полностью их соблюсти и прошу не судить строго, если не получилось.
А также я не знаю насколько глубоко можно использовать аппарат теормеха и сопромата при выводе.
Задача весьма интересная, я постараюсь воспроизвести логику, которой я пользовался в выводе окончательного решения.
Начал я, как следует, из простых соображений и всевозможных допущений, а затем постепенно задачу усложнял. Мой подход, безусловно, не единственный, но как есть.

Я буду пользоваться Вашими обозначениями, но вот длину свободного пробега тела слева обозначу $l_1$, а длину свободного пробега тела справа $l_2$, полная длина троса при выбранном зазоре - $l$, начальная длина не натянутого троса - $l_0$, тогда свободный пробег: $l-l_0$.

Будем для определенности полагать, что сила $F_2>F_1$

1. Пусть изначально трос заранее натянут (я это делаю для того, чтобы Вы потом смогли использовать мои положения для окончательного решения).
Тогда уравнение движения для системы тел запишется в виде
$\frac{dv}{dt}=\frac{F_2-F_1}{m_1+m_2+\rho l}$, где $\rho$ - плотность единицы длины троса.

1.1 Пренебрежем силами инерции
Тогда условие прочности через осевое напряжение: $\sigma=\frac{F_1}{S}<{[\sigma]}$, где $S$ - площадь поперечного сечения троса, ${[\sigma]}$ - допускаемое осевое напряжение в тросе.

1.2 С учетом сил инерции
С учетом сил инерции нужно понимать, что трос будет дополнительно растягиваться вследствие вовлечения его в поступательное движение с некоторой силой. Тогда
$\sigma=\frac{F_1+(m_1+\pho l) \frac{dv}{dt}}{s}<{[\sigma]}$

Итак, данные положения не решают Вашу задачу, но помогут нам с ней.
Вероятно, главной ошибкой в Ваших рассуждениях был пункт 2, предполагающий, что максимальные нагрузки будут возникать при движении системы тел в одном направлении после удара, в то время как именно удар будет определяющим в разрушении троса.

2. Трос не натянут.
Для начала пренебрежем массой троса по отношению к массе концевых тел. Если у Вас получится в рамках такого предположения решить данную задачу, то я расскажу свои соображения насчет корректного учета вовлекаемой массы троса в движение за одним и другим телом.
По пунктам:
- записываем уравнение движения для двух тел под действием различных сил;
- интегрируем эти уравнения от нулевой скорости до $v_i$ до некоторого времени натяжения троса $T$, которое будет, очевидно, одинаковым;
- однозначно связываем скорости $v_i$ между собой;
- преобразуем уравнение движения, воспользовавшись соотношением $\frac{dv_i}{dt}=\frac{dv_i}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv_i}{dx}v_i$, где $x$ - координата;
- интегрируем это выражение до $l_1$ и $l_2$, выражаем последние и суммируем, так как $l_1+l_2=l$;
- теперь у нас два уравнения с двумя неизвестными скоростями $v_i$. Разрешаем и находим их;
- в процессе резкого торможения троса работа одной из реакций троса (реакции в общем случае не равны, подумайте какую из двух реакций следует использовать) на величине удлинения $\delta_i$ должна компенсировать кинетическую энергию тела и работу движущей силы $F_i$;
- связывая удлинение через напряжение и модуль упругости (для стального троса он примерно в три раза меньше стального прутка, т.е. порядка 67 ГПа) выражаем напряжение и находим его;
- почти все, осталось лишь учесть, что при динамическом нагружении сталь ведет себя не так, как при статическом, и лучше сопротивляется приложенным нагрузкам. С другой стороны, при динамическом нагружении кривая "истинные напряжения - деформация" ведет себя близко к упругости вплоть до разрушения, стало быть не надо учитывать пластическое упрочнение. Учитывать это или нет, - все зависит от необходимого Вам результата - исключительно теоретического или же с практической значимостью.
Будут вопросы по последнему и другому пункту - спрашивайте.

[mihiv]

Для начала стоит рассмотреть случай $F_1=F_2$. Тогда центр масс системы неподвижен, и в некоторый момент времени под действием натяжения троса оба тела остановятся. Отсюда можно будет определить максимальную силу натяжения троса (считая известным коэффициент упругости ).

[kvo.spb]

Кстати, если хотите серьезной теории на данную тему, то я советую книгу автора А.П. Иванов "Динамика систем с механическими соударениями"