x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2 в натуральных числах

[dmd]

Можно ли доказать, что уравнение $x(7-5x+x^2)(6-4x+x^2)=y^2$ в натуральных числах кроме $ x=\{1,2,3,7,21\}$ не имеет других решений?

[Andrey A]

dmd в сообщении #1379570 писал(а):

... не имеет других решений

Не факт. Если $x$ свободно от квадратов, то $x \mid 7\cdot 6=42$, и все варианты приведены выше. Но положим к примеру $x=21z^2, y\ \vdots\ 21z$.

$21z^2(21^2z^4-5\cdot 21z^2+7)(21^2z^4-4\cdot 21z^2+6)=y^2$

Делим всё на $(21z)^2$:

$$\dfrac{(21^2z^4-5\cdot 21z^2+7)(21^2z^4-4\cdot 21z^2+6)}{21}=\left ( \dfrac{y}{21z} \right )^2=(63z^4-15z^2+1)(147z^4-28z^2+2).$$

Почему оно не может оказаться целым квадратом помимо $z=1$, не знаю. Просто это могут быть большие числа.

[wrest]

Andrey A в сообщении #1379696 писал(а):

Просто это могут быть большие числа.

До $z=10^8$ решение только $z=1$.

[Andrey A]

wrest
Вольфрам тоже других не видит, но он и начального уравнения не все решения видит. С него станется. На всякий случай $z=10k\pm 1.$

[dmd]

Andrey A в сообщении #1379720 писал(а):

wrest
Вольфрам тоже других не видит, но он и начального уравнения не все решения видит. С него станется. На всякий случай $z=10k\pm 1.$

Оптимальнее $z=5k\pm 1$.

[Andrey A]

dmd
Четное $z$ противоречит по $\mod 100:\ 58,54,2$ — квадратичные невычеты. А на счет Вольфрама согласен, тут как задашь.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1379696 писал(а):

$...\ (63z^4-15z^2+1)(147z^4-28z^2+2)$

Из соображений сравнимости можно вывести, что выражения в скобочках могут иметь общим делителем $>1$ либо $3$, либо $9$, но ни на то ни на другое они не делятся, то есть вз. просты, а значит должны быть целыми квадратами: $63z^4-15z^2+1=u^2,\ 147z^4-28z^2+2=v^2.$ Решая пару уравнений относительно $z^2$, получаем систему из двух Пеллей:

$(42z^2-5)^2-28u^2=-3$
$(21z^2-2)^2-3v^2=-2$

Имеем бесконечную серию решений, но на каком шаге старшие квадраты совпадут нужным образом, и совпадут ли — то нам не ведомо. А ведь $21$ взято с потолка для наглядности, подобные расклады ожидаемы и для других делителей числа $42$. Не знаю. Надо бы гипотезу Эрдёша — Моллина — Уолша взять и поместить в ПР/Р, вдруг сработает!