Физико-математический парадокс

[Damonov]

Общее доказательство теоремы Ферма

Дихотомический метод

Дихотомическая логика оперирует антиподами: да-А, не-А; положительное, отрицательное; кубик, не-кубик; число, не-число; чёрное, белое; и т.п.

Поскольку этот метод понадобится нам для дальнейшего анализа проделанных рассуждений, поэкспериментируем с чёрными и белыми кубиками с исчерпывающей математической точностью.

Распишем во всех подробностях полный процесс сборки трёх призм $a^n, b^n, c^n$, нумеруя каждый этап и каждый сделанный вывод, чтобы оппонентам легче было указать на то место в рассуждениях, где была допущена ошибка.

Итак, собираем две призмы A и B из чёрных кубиков, призму C из белых кубиков, принимая для удобства a < b < c.

1-й этап. Сначала складываем из кубиков все три основания всех трёх призм. В основание малой призмы А закладываем $a^2$ чёрных кубиков, в основание средней призмы B закладываем $b^2$ чёрных кубиков, в основание большой призмы C закладываем $c^2$ белых кубиков.

• Чёрных кубиков затрачено $(a^2+b^2)$.

• Белых кубиков затрачено $c^2$.

• Всего затрачено $(a^2+b^2+c^2)$ чёрных и белых кубиков.

2-й этап. Повторяем эту процедуру ровно $c^{n-2}$ раз. В итоге имеем:

• Малая призма A надстроена лишними слоями кубиков в количестве $(c^{n-2}-a^{n-2})$ слоёв. Всего теперь в ней $c^{n-2}a^2$ чёрных кубиков.

• Средняя призма B надстроена лишними слоями кубиков в количестве $(c^{n-2}-b^{n-2})$ слоёв. Всего теперь в ней $c^{n-2}b^2$ чёрных кубиков.

• Большая призма C сформирована полностью.

• Всего затрачено $c^{n-2}(a^2+b^2)$ чёрных кубиков и $c^n$ белых кубиков.

3-й этап. Лишние кубики превышают объём только двух малых призм, поэтому все они чёрные. Белых кубиков нет ни избытка, ни недостатка.

• Количество лишних кубиков $(c^{n-2}a^2-a^n)+(c^{n-2}b^2-b^n)$. Или: $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)$.

4-й этап. Оцениваем количество лишних кубиков, исходя из трёх возможных вариантов:

1). $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)>c^n$

2). $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)<c^n$

3). $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)=c^n$

1). Рассматриваем первый случай.

$c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)>c^n$

$c^{n-2}(a^2+b^2)-c^n>c^n$

$c^{n-2}(a^2+b^2)>2c^n$

$a^2+b^2>2c^2$

Одно из чисел $a^2$ или $b^2$ должно быть больше половины $2c^2$, а второе число – меньше, ибо вместе то и другое невозможно. В силу старшинства a < b < c, приходим к заключению: $b^2>c^2$, или $b>c$, что невозможно.

Вывод 1. Случай: $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)>c^n$ следует исключить как невозможный.

2). Рассматриваем второй случай.

$c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)<c^n$

В левой части данного неравенства находится излишек кубиков, которые можно удалить из обеих чёрных призм с одновременным удалением такого же количества белых кубиков из большой призмы C. Большая призма станет меньше своего полного объёма, тогда как общее количество чёрных кубиков в двух малых призмах после удаления излишка станет равным $c^n$.

Приходим к неравенству $a^n+b^n>c^n$.

Вывод 2. Случай: $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)<c^n$ следует исключить как невозможный.

3). Рассматриваем третий случай.

$c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)=c^n$

$c^{n-2}(a^2+b^2)-c^n=c^n$

$c^{n-2}(a^2+b^2)=2c^n$

$a^2+b^2=2c^2$

По крайней мере одно из чисел $a^2$ или $b^2$ больше, чем $c^2$. С учётом старшинства a < b < c, приходим к выводу, ранее полученному в первом случае: $b>c$, что невозможно.

Вывод 3. Случай $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)=c^n$ следует исключить как невозможный.

Все три возможные варианта исключены, откуда следует окончательный вывод:

Вывод 4. Излишка кубиков не существует.

Данный вывод выражается равенством $c^{n-2}(a^2+b^2-c^2)=0$. Или: $a^2+b^2=c^2$.

Окончательный вывод 5.

Объём большой призмы превосходит суммарный объём двух малых призм.

Ту же мысль можно выразить иначе:

Уравнение Ферма справедливо только для случая $n=2$.

Обратим внимание на тот факт, что количество лишних кубиков не является числом, то есть является не-числом. Ибо всякое число либо меньше, либо больше, либо равно любому данному числу. Тем более, если речь идёт о целых числах.

Здесь же мы пришли к выводу о невозможности всех трёх описанных отношений, из чего заключили, что избытка кубиков не существует. Разве может существовать нечто такое, количества которого нет?

Физики возразят: то есть как это лишних кубиков не существует? Вы же видите кубики, они чёрного цвета, их можно даже пощупать!

Парадокс описывается математиками следующим образом: число кубиков является не-числом, поэтому никакие это не кубики, а значит, это не-кубики.

У физиков всё наоборот: это у вас, уважаемые математики, числа являются не-числами, а у нас настоящие кубики, а никакие вовсе не не-кубики.

Вопрос: можно ли устранить замеченное противоречие, обходясь без дихотомической логики?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: по назначению.