Функциональные ряды и сходимость.

[Ponch]

Добрый день!
Нужно исследовать на сходимость(поточечную и равномерную) функциональный ряд
$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {1} {(1+(x-n)^2)\ln n}$

Особенно интересно будет ли ряд равномерно сходиться/расходиться на всяческих лучах $[a;+\infty)$

[незваный гость]

А что Вы сами думаете?

[Ponch]

Мне кажется что поточечная сходимость в этом ряде есть везде.
Равномерная сходимость присутствует на отрицательных числах(можно ограничить сходящимся мажорантным рядом, признак Вейрштрасса). Вот что сделать с лучами [a;+\infty) я не представляю. Большое подозрение, что там все-таки сходимости не будет, и это следует отрицать по критерию Коши, но конкретных значений, как понимаете, я не поймал

[незваный гость]

Это следует отрицать по определению, доказывая, что достаточно далеко сумма хвоста станет больше любого $\varepsilon$.

[Ponch]

это понятно...но такую сумму мне не подобрать

[RIP]

По-моему, ряд сходится равномерно на $\mathbb R$.

[Ponch]

А чем вы это обоснуете?=)

[незваный гость]

незваный гость писал(а):

Это следует отрицать по определению, доказывая, что достаточно далеко сумма хвоста станет больше любого $\varepsilon$.

Я заблуждался.

Сделав пересчёт на бумажке, согласен с RIP.

Попробуйте выбрать окрестность $(x-c(x), x+c(x))$ для некоторой удобной $c(x)$ (скажем, степенной, или линейной), и оценить сумму ряда вне этой окрестности и в ней раздельно.

[RIP]

Могу предложить такой подход: доказывать по определению. Воспользуйтесь тем, что

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{1+(x-n)^2}=O(1)$$

, $x\in\mathbb R$.