Функциональная область

[RgWhite]

Пусть $g \in SL(2,\mathbb Z)$, т. е.

$$g= \left(\begin{array}{ccc} a&b\\ c&d \end{array}\right) $$

, где $ad-bc=1$ и $a,b,c,d \in\mathbb Z$;
$g(z)=\frac{az+b}{cz+d}$
Нужно доказать, что $Im(g(z))$ ограничена сверху: $Im(g(z))<C$,
$Im(g(z))$ можно записать так $Im(g(z))=\frac{Imz}{|cz+d|^2}$.
А также нужно найти функциональную область группы $SL(2,\mathbb Z)$.
Помогите пожалуйста!

[bot]

Цитата:

$Im(g(z))$ можно записать так $Im(g(z))=\frac{Imz}{|cz+d|^2}$

Это в условии было или это начало Вашего рассуждения?

А что это такое - функциональная область группы?

[RIP]

А в чём проблема-то? Нужно доказать ограниченность снизу $|cz+d|$ при фиксировнанном $z$ (рискну предположить, что $z$ лежит в верхней полуплоскости), когда $(c,d)\in\mathbb Z^2\setminus\{(0,0)\}$. Геометрически это очевидно.

RgWhite писал(а):

А также нужно найти функциональную область

Имеется в виду фундаментальная область? Открываете какую-нибудь книжку по модулярным формам (например, Коблиц Н. — Введение в эллиптические кривые и модулярные формы) и читаете...

[RgWhite]

Да $Im(g(z))=\frac{Imz}{|cz+d|^2}$ это уже мое.
$|cz+d|>0$, тк модуль
Правильно?
Это я очепятался насчет функциональной области)) Книгу обязательно посмотрю.

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Правильно?

Нет, поскольку модуль нуля равен 0.

[RgWhite]

c и d отличны от 0, z=x+iy, y>0, как может 0 получится?

[Brukvalub]

У меня до Вашего последнего сообщения ноль легко получался (ну не экстрасенс я, и ничего с этим поделать не могу!) Но даже с этими доп. условиями, о которых Вы только что написали, Ваши объяснения пока не выглядят для меня убедительно. Ведь знаменатель может быть сколь угодно мал по модулю

[RgWhite]

что-то больше ничего в голову не приходит, намекните хоть как-нибудь

[RIP]

Мда, хотел сказать одно, а написал другое. Я имел в виду ограниченность снизу чем-то положительным.
Я ж уже намекал: изобразите множество точек вида cz+d на плоскости. Можно, конечно, и чисто аналитически (рассмотрите случаи $c=0$ и $c\ne0$).

[RgWhite]

ну вроде это как решетка с базисом z и 1..

[RIP]

RgWhite писал(а):

ну вроде это как решетка с базисом z и 1..

Правильно. 0 мы выкинули. Понятно, что остальные точки не могут подобраться к 0 слишком близко. Не знаю, как Brukvalubа, но меня такое рассуждение вполне убеждает (потому что у меня за пасухой есть "строгое" аналитическое доказательство ).

[RgWhite]

спасибо теперь понятно! а с фунд областью мне еще уточнить надо