Сумма логнормальных случайных величин логнормальна?

[blaZter]

Строю экспериментальную гистограмму суммы логнормальных случайных величин и теоретическое распределение с матожиданием и дисперсией суммы. Здесь суммирую 20 величин.
Получается так

Весьма неплохо.
В число устойчивых логнормальное кажется не входит. Или входит?

[worm2]

Берите произведение (независимых, с одинаковыми параметрами) — не ошибётесь

[Евгений Машеров]

Не входит.
А вообще - попробуйте провести расчёт с разным числом слагаемых и всякий раз считайте асимметрию и эксцесс.

[Евгений Машеров]

Кое-что про суммы логнормальных величин есть в Crow E.L., Shimizu K. Lognormal Distributions: Theory and Applications (в первой главе)
https://www.twirpx.com/file/2755234/

[Евгений Машеров]

Совет повторить расчёт с разным числом слагаемых и посмотреть на зависимость поведения коэффициентов асимметрии и эксцесса от числа слагаемых я дал, полагая, что для Вас численный расчёт будет более убедителен.
Но то же можно сделать и без вычислительной машины.
Просто вспомнив, что семиинварианты (кумулянты) 3 и 4 порядка это ненормированные коэффициенты асимметрии и эксцесса (нормирование делением на дисперсию в надлежащей степени, полуторной для получения коэффициента асимметрии и квадрата дисперсии для эксцесса). А семиинвариант суммы равен сумме семиинвариантов слагаемых. Для Ваших 20 слагаемых каждый семиинвариант суммы вырастет в 20 раз (да, на всякий случай напомню, что дисперсия тоже семиинвариант, 2 порядка), а после нормировки (при которой делим 3 семиинвариант на 89.44, а 4 на 400), получаем, что асимметрия уменьшилась в 4.47 раза, а эксцесс в 20. То есть форма распределения всё ещё асимметрична и тяжелохвоста, но приблизилась к форме нормального, для которого что асимметрия, что эксцесс нули.

[blaZter]

Евгений Машеров
Так глубоко тервер не знаю
У Вас робот сканирующий есть? Откуда столько электронных книг?

[Евгений Машеров]

Ну так надо хотя бы с базой разобраться. Что асимметрия и эксцесс характеризуют форму распределения и, если ненулевые, степень его отклонения от нормального, знаете? Ну а семиинварианты (они же кумулянты, они же полуинварианты, она же Манька-Облигация) просто полезный инструмент, очень проясняющий, откуда ЦПТ растёт.
А книги многие сканируют, собственно моих сканов там не столь много, хотя и есть. Чаще нахожу в разных местах и помещаю для общего доступа.

[Евгений Машеров]

blaZter в сообщении #1377318 писал(а):

В число устойчивых логнормальное кажется не входит. Или входит?

Не входит. Оно безгранично делимое (то есть может быть представлено в виде суммы n одинаково распределённых случайных величин при каждом n), но не устойчиво (распределения слагаемых "не такие", отличаются от распределения суммы не только параметрами сдвига и масштаба).