2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируемость функции
Сообщение19.02.2019, 15:38 


19/02/19
1
Всем привет, прошу помощи:

1) Если $f(x)$ $\subset\mathbb{R}$ имеет первообразную $F(x)+C$ , можно ли утверждать, что \lim\limits_{x \to {x_0}}{\frac{d(F(x)+C)}{dx}}
 = \lim\limits_{x \to {x_0}}{f(x)} ?

2) Верно ли, что функция, имеющая точку разрыва второго рода, не имеет первообразной (на том же интервале, разумеется)?

Вопросы пошли из простой задачи:

Показать что $f(x) =\begin{equation*}
 \begin{cases}
   \cos(\frac{1}{x}), {x \ne 0}
   \\
   -\frac{1}{2}, x = 0
 \end{cases}
\end{equation*} $ не имеет первообразной.

Собственно первообразная должна была бы быть дифференцируемой в каждой точке интервала, но левый и правый предел в $x_0 = 0$ не существуют, хотя функция определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость функции
Сообщение19.02.2019, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Тут проще начинать с дифференцируемой функции - она будет первообразной для своей производной - и смотреть, как может быть устроена производная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость функции
Сообщение19.02.2019, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
tom_soier в сообщении #1377105 писал(а):
можно ли утверждать, что $\lim\limits_{x \to {x_0}}{\frac{d(F(x)+C)}{dx}}
= \lim\limits_{x \to {x_0}}{f(x)} $?

Объясните также, что из себя представляет и каким образом находится предел, написанный слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость функции
Сообщение19.02.2019, 22:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
tom_soier в сообщении #1377105 писал(а):
2) Верно ли, что функция, имеющая точку разрыва второго рода, не имеет первообразной (на том же интервале, разумеется)?

Не верно. Всё наоборот. Функция, имеющая разрыв первого рода, не может иметь первообразной.
tom_soier в сообщении #1377105 писал(а):
Показать что $$f(x)=\begin{cases}
  \cos(\frac{1}{x}), {x \ne 0}
  \\
  -\frac{1}{2}, x = 0
\end{cases}
$$ не имеет первообразной.

Интересная задача. Тут считать надо. Если нигде не ошибся, то в точке $0$ должно быть $f(0)=0$, тогда первообразная будет. А тут $-\frac 12$. Первообразная, как и положено - интеграл с переменным верхним пределом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group