Теорема: пи(x)=o(x) Не могу понять одну деталь в док-ве.

[math_34]

Здравствуйте Уважаемые. Снова обращаюсь к Вам за помощью. В книге Ингама. А.В. "Распределение простых чисел" на стр 18 приведена теорема $\pi(x)=o(x)$ Мне не понятна одна деталь в доказательстве - предпоследняя строка: $\varepsilon= c \ln x, где 0< c <\frac{1}{ \ln 2}$ Почему эпсилон равняется c на натуральный логарифм икс, откуда это следует?

[kotenok gav]

math_34 в сообщении #1375753 писал(а):

теорема $\pi(x)=o(x)$

Это неверно.

[Null]

kotenok gav в сообщении #1375927 писал(а):

Это неверно.

Это верно. $\frac{\pi(x)}{x}\sim\frac{1}{\ln{x}}\to 0$ при $x\to \infty$

math_34 в сообщении #1375753 писал(а):

Здравствуйте Уважаемые. Снова обращаюсь к Вам за помощью. В книге Ингама. А.В. "Распределение простых чисел" на стр 18 приведена теорема $\pi(x)=o(x)$ Мне не понятна одна деталь в доказательстве - предпоследняя строка: $\varepsilon= c \ln x, где 0< c <\frac{1}{ \ln 2}$ Почему эпсилон равняется c на натуральный логарифм икс, откуда это следует?

В доказательстве $\varepsilon$ произвольное $2<\varepsilon<x$, можно выбирать любое - например $\frac{1}{2}\ln(x)$, при больших $x$ оно больше $2$ и меньше $x$.

(Оффтоп)

У меня в книге это 22 страница, лучше указывайте главу и номер теоремы.

[math_34]

В ходе доказательства того что $\pi(x)=o(x)$ мы получили:

$\pi(x)\leqslant2^{\varepsilon+1}+x\prod\limits_{p<\varepsilon}^{}(1-\frac{1}{p})$

Надо доказать, что $\pi(x)=o(x)$, иными словами $\frac{\pi(x)}{x}\to 0$

подставим вместо $\pi(x)$ выражение 2^{\varepsilon+1}+x\prod\limits_{p<\varepsilon}^{}(1-\frac{1}{p})$ получим что надо доказать что:$\frac{2^{\varepsilon+1}+x\prod\limits_{p<\varepsilon}^{}(1-\frac{1}{p})}{x} \to 0$ или $\frac{2^{\varepsilon+1}}{x}+\frac{x\prod\limits_{p<\varepsilon}^{}(1-\frac{1}{p})}{x} \to 0$ Если взять как Вы говорите $2<\varepsilon<x$, то $\frac{2^{\varepsilon+1}}{x}не будет стремиться к нулю. Вот в чем проблема. Вот что я не могу понять.

[mihiv]

Возьмите $\varepsilon =c\ln x$ и напишите подробно, чему равен предел $\dfrac {2^{\varepsilon +1}}{x}.$