Не является целым числом

[Droog_Andrey]

Доказать, что

$$2^{2^{\sqrt3}}\notin\mathbb{Z}$$

[lel0lel]

$2^n\in \mathbb{Z}$ только если $n\in\mathbb{N}$. Это глупость

[iifat]

Вообще-то, $2^{\log_23}=3$

[lel0lel]

Простите за глупость, конечно.

[wrest]

(Оффтоп)

Отличие в 5-м знаке, будет непросто... Т.е.план, вероятно, в том, чтобы доказать что больше $10$ но меньше $11$, т.е. что $\log _2 10 < 2^{\sqrt{3}}<\log_2 11$

[mihiv]

Если считать известным $\ln 2\approx 0.693$, то ($\sqrt 3<2(1-\frac 18))$:

$$\ln N=\ln 2\exp (\sqrt 3{\ln 2})<\ln 2\exp (2(1-\frac 18)\ln 2)=4\ln 2\exp (-\frac {\ln 2}4)<4\ln 2-\ln ^22+\dfrac {\ln ^32}8$$

Дальше можно использовать разложения:

$$\ln 10=\ln (16-6)=4\ln 2-\frac 38-\frac 9{128}-\dots , \ln 11=\ln (16-5)=4\ln 2-\frac 5{16}-\frac {25}{512}-\dots $$

И, как указал wrest, доказываем неравенство: $\ln 10<\ln N<\ln 11$

[Droog_Andrey]

Внезапно мысль. Рассмотрим множество $\mathbb{A}$ таких действительных чисел $a$, что $2^a$ и $2^{a^{\sqrt3}}$ оба целые.

Если $2^{2^{\sqrt3}}\in\mathbb{Z}$, то $\mathbb{A}$ содержит $2$, $2^{\sqrt3+1}$ и многие другие числа.

Чутьё подсказывает, что далее можно найти несуществующую структуру в $\mathbb{A}$, придя таким образом к противоречию.