Определение точки

[alex55555]

Подскажите определение точки. Смотрел в википедии, нашёл определение "объект без свойств кроме координат". Там же есть ссылки на аксиоматизацию евклидовой геометрии от нескольких математиков, но в их аксиомах определение точки отсутствует (опять же источник - википедия).

Аксиоматизация точки интересна в плане её активного использования в примерах и задачах по теории множеств. Простейший пример - отрезок есть геометрическое место бесконечного количества точек. Для данного множества "объектов без свойств" не получается получить непрерывность отрезка. Если у объекта нет свойств, то его размер тоже отсутствует, что означает его равенство нулю. Последнее - из здравого смысла, то есть любой другой размер не соответствует смыслу выражения "без свойств" и одновременно понятию геометрического места бесконечного количества объектов. А вот с нулевым размером "по здравому смыслу" всё сходится. Но тогда не получается непрерывность. Если же размер ненулевой, то сразу возникает вопрос о его значении - когда больше нельзя делить фигуру на части? Поэтому важно понимать, что такое точка. И если точка именно "объект без свойств", то самими точками полностью определить отрезок (и всю остальную геометрию) нельзя из-за отсутствия непрерывности. Либо как-то аксиоматически непрерывность исключить из рассмотрения. Либо есть какой-то "признанный правильным" вариант. Но каков он?

[Dan B-Yallay]

alex55555 в сообщении #1375468 писал(а):

Простейший пример - отрезок есть геометрическое место бесконечного количества точек. Для данного множества "объектов без свойств" не получается получить непрерывность отрезка.

Можно ли поточней указать, на каком именно этапе "не получается получить непрерывность отрезка"?

Как вы получаете непрерывность в случае, если припишете точке какие-то свойства, и какие?

[Aritaborian]

alex55555 в сообщении #1375468 писал(а):

отрезок есть геометрическое место бесконечного количества точек

Где вы вычитали этот бессмысленный набор слов?

[Lia]

alex55555
Точка - неопределяемое понятие.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: в соответствии с содержанием стартового поста.

[Munin]

Lia в сообщении #1375471 писал(а):

Точка - неопределяемое понятие.

Ну, можно так: если $S$ - аффинное, проективное, метрическое или топологическое пространство, то его элементы называются "точками".

[mihaild]

Ага, точка - элемент множества точек, вектор - элемент векторного пространства, натуральное число - элемент множества натуральных чисел...

(Оффтоп)

А вот рациональное, вещественное, комплексное, $p$-адическое число уже обычно "строятся по одному". Есть еще широко известные примеры объектов, где вся структура рассматривается раньше, чем отдельные элементы?

[Munin]

mihaild в сообщении #1375590 писал(а):

А вот рациональное, вещественное, комплексное, $p$-адическое число уже обычно "строятся по одному".

Можно это пояснить? Например, "множество рациональных чисел есть фактормножество множества пар по отношению эквивалентности..."

mihaild в сообщении #1375590 писал(а):

Есть еще широко известные примеры объектов, где вся структура рассматривается раньше, чем отдельные элементы?

Да вроде бы, вся алгебра, начиная с операции, группы, кольца, поля...

[mihaild]

Munin в сообщении #1375593 писал(а):

множество рациональных чисел есть фактормножество множества пар по отношению эквивалентности...

Класс эквивалентности можно определить без введения разбиения на классы. Соответственно получится "рациональное число - это такое непустое множество пар, что любые две пары эквивалентны, и любая пара, эквивалентная паре из множества, ему принадлежит".

Munin в сообщении #1375593 писал(а):

Да вроде бы, вся алгебра, начиная с операции, группы, кольца, поля...

Интуитивно это немного не то. Когда мы рассматриваем какую-то конкретную структуру - то она обычно строится из чего-то уже имеющегося - например всякие факторы и произведения понятно из чего состоят.
Можно конечно сказать что например $\mathbb{Z}$ это свободная циклическая группа. Но если $\mathbb{Z}_p$ будем вводить как фактор $\mathbb{Z}$, то у нас уже будут определены сначала отдельные элементы, а потом уже вся группа как множество всех элементов.

(впрочем это всё сильно неформально, и как раз уже в подходящем разделе )

[Munin]

mihaild в сообщении #1375598 писал(а):

Класс эквивалентности можно определить без введения разбиения на классы.

Но это же некорректно! Надо доказать, что оно действительно разбиение (≡ отношение есть эквивалентность).

mihaild в сообщении #1375598 писал(а):

Можно конечно сказать что например $\mathbb{Z}$ это свободная циклическая группа.

Мне кажется, уже здесь вы сначала взяли элемент (образующую). Если мы "не хотим трогать элементы", то у нас нет $\mathbb{Z}.$ У нас есть только абелевы и неабелевы, конечные и бесконечные... Категория групп.

Вот, точно! Всё то, что можно выразить на категорно-диаграммном языке - то "не про элементы, а про структуру".

[mihaild]

Munin в сообщении #1375620 писал(а):

Надо доказать, что оно действительно разбиение (≡ отношение есть эквивалентность).

Естественно что рукомашеством мы работу по построению поля дробей не заменим, доказывать что всё работает всё равно придется.
Но начинать вполне можно и с "рациональное число - это множество пар, удовлетворяющее вот таком свойству".

Munin в сообщении #1375620 писал(а):

Мне кажется, уже здесь вы сначала взяли элемент (образующую).

Вы про то, что в слове "циклическая" неявно используется порождающий элемент?
Я довольно плохо знаю теоркат, но вроде бы в нем определяется свободная группа, а дальше целые числа можно определить как минимальную нетривиальную свободную группу?

[Munin]

mihaild в сообщении #1375643 писал(а):

Вы про то, что в слове "циклическая" неявно используется порождающий элемент?

Ага, а в слове "свободная" - порождающее множество.

А вот про то, можно ли это определить на категорном языке, я как раз вам хотел переадресовать вопрос :-)