Вариант гипотетического доказательства гипотезы Гольдбаха.

[Батороев]

Назовем составные числа, являющиеся произведением только двух нечетных простых чисел (без числа 2), «$pq$-числами».

Имеем четное число $2N$.
Наличие $pq$-чисел в ряду $ (N^2-a^2) $, где $ a = 0, 1, 2, 3… (N-3) $, отражает количество пар простых чисел, которые в сумме дают данное четное число.
Действительно:
$ pq = (\frac{p+q}{2})^2 - (\frac{p-q}{2})^2 = N^2 - a^2 $
$ \frac{p+q}{2} = N $ или $ p+q = 2N $
$ \frac{p-q}{2} = a $.

Диагональ на таблице Пифагора, отражающую ряд $ (N^2 - a^2) $, назовем диагональю Гольдбаха для данного числа $ N $.

Количество $ pq $-чисел, лежащих на таблице Пифагора в пределах от $ 0 $ до диагонали Гольдбаха для данного числа $ N $, можно подсчитать:

$ M _{N}= \pi({2N-3}) + \pi({2N-5}) + \pi({2N-7}) + … + \pi({2N-p_i}) - T_{i-1} $, (1)

где $ \pi(2N-3) $ - количество нечетных простых чисел, непревышающих $ (2N - 3) $ и т.д.,
$ i $ - число нечетных простых чисел, непревышающих $ N $,
$ p_i $ - наибольшее нечетное простое число, непревышающее $ N $.
$ T_{i-1} = \frac{(i-1)i}{2} $ - (i-1)-ое число в ряду треугольных чисел.

По-видимому, можно доказать, что
$ M_{N+1} - M_{N} \geq {1} $.

[Бодигрим]

Батороев писал(а):

Имеем четное число $2N$.
Наличие $pq$-чисел в ряду $ (N^2-a^2) $, где $ a = 1, 2, 3… (N-3) $, отражает количество пар простых чисел, которые в сумме дают данное четное число.

При заданных вами границах $a$ это неверно. Например, $2N=6=p+q=3+3$.

Что такое таблица Пифагора?

[Батороев]

Бодигрим писал(а):

Батороев писал(а):

Имеем четное число $2N$.
Наличие $pq$-чисел в ряду $ (N^2-a^2) $, где $ a = 1, 2, 3… (N-3) $, отражает количество пар простых чисел, которые в сумме дают данное четное число.

При заданных вами границах $a$ это неверно. Например, $2N=6=p+q=3+3$.

Понял свой недочет.
Спасибо, исправлю.

Бодигрим писал(а):

Что такое таблица Пифагора?

Та же таблица умножения из первого класса, но не ограниченная числом $9 \times 9 $.

[Бодигрим]

Идем дальше.

Батороев писал(а):

Диагональ на таблице Пифагора, отражающую ряд $ (N^2 - a^2) $, назовем диагональю Гольдбаха для данного числа $ N $.

Элемент последовательности $\{N^2-a^2\}_{a=1}^{N-3}$, вообще говоря, может встретиться в таблице Пифагора многократно в разных местах. Я правильно понимаю, что "диагональ Гольдбаха" - это клетки с координатами $(N+a, N-a)$, где $a=-N+1,\ldots,N-1$?

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Re: Вариант гипотетического доказательства гипотезы Гольдбаха.

Батороев писал(а):

Количество $ pq $-чисел, лежащих на таблице Пифагора в пределах от $ 0 $ до диагонали Гольдбаха для данного числа $ N $, можно подсчитать:

$ M _{N}= \pi({2N-3}) + \pi({2N-5}) + \pi({2N-7}) + … + \pi({2N-p_i}) - T_{i-1} $, (1)

где $ \pi(2N-3) $ - количество нечетных простых чисел, непревышающих $ (2N - 3) $ и т.д.,
$ p_i $ - i-ое число в ряду нечетных простых чисел, непревышающих $ N $,
$ T_{i-1} = \frac{(i-1)i}{2} $ - (i-1)-ое число в ряду треугольных чисел.

А что такое $i$?

[Батороев]

Бодигрим писал(а):

Идем дальше.
Элемент последовательности $\{N^2-a^2\}_{a=1}^{N-3}$, вообще говоря, может встретиться в таблице Пифагора многократно в разных местах. Я правильно понимаю, что "диагональ Гольдбаха" - это клетки с координатами $(N+a, N-a)$, где $a=-N+1,\ldots,N-1$?

Я исправил. Теперь $ a = 0, 1... $.
В Ваших обозначениях не нравится то, что $ a $, вроде б как, может быть отрицательным. У меня же, $ a $ - только положительное число.
Лучше, приведу пример:
Для начала в таблице выделим диагональ $ 1, 4, 9, 16, 25 ...$. Назовем ее "диагональю квадратов".
Для $ N = 8 $ - клетки в таблице Пифагора с числами: $ 64, 63, 60, 55, 48, 39 $, которые берут начало от диагонали квадратов и образуют другую диагональ, которую я и называю "диагональю Гольдбаха для числа $ 8 $" (вообще-то их в таблице Пифагора - две, но я рассматриваю одну, т.к. они симметричны).

Бодигрим писал(а):

А что такое $i$?

$ i $ - это порядковый номер простых нечетных чисел:
$ 3 $- №$1$, $ 5 $ - №$2 $, $ 7$ - №$ 3 $ и т.д.

[Бодигрим]

Батороев писал(а):

$ i $ - это порядковый номер простых нечетных чисел:
$ 3 $- №$1$, $ 5 $ - №$2 $, $ 7$ - №$ 3 $ и т.д.

Что означает $i$ в формуле для $M_N$? У вас оно встречается в виде свободной переменной, не внутри неявного оператора суммирования по простым числам.

[Батороев]

Бодигрим писал(а):

Что означает $i$ в формуле для $M_N$? У вас оно встречается в виде свободной переменной, не внутри неявного оператора суммирования по простым числам.

Это порядковый номер наибольшего нечетного простого числа, непревышающего $ N $.

[Бодигрим]

Батороев писал(а):

Лучше, приведу пример:
Для начала в таблице выделим диагональ $ 1, 4, 9, 16, 25 ...$. Назовем ее "диагональю квадратов".
Для $ N = 8 $ - клетки в таблице Пифагора с числами: $ 64, 63, 60, 55, 48, 39 $...

Число 64, например, в таблице Пифагора встречается в 7 различных клетках. Число 63 - в 4 клетках: $1\times63$, $7\times9$, $9\times7$, $63\times1$. О каких именно клетках вы говорите?

Батороев писал(а):

Это порядковый номер наибольшего простого числа, непревышающего $N$.

Может быть порядковый номер наибольшего нечетного простого числа? В любом случае исправьте коллизию обозначений в формуле (1).

Добавлено спустя 5 минут 22 секунды:

Re: Вариант гипотетического доказательства гипотезы Гольдбаха.

Батороев писал(а):

$ M _{N}= \pi({2N-3}) + \pi({2N-5}) + \pi({2N-7}) + … + \pi({2N-p_i}) - T_{i-1} $

Я правильно считаю:

$$ M_4=\pi(8-3)+\pi(8-5)+\pi(8-7)-T_{3-1}=2+1+0-3=0? $$

[Батороев]

Бодигрим писал(а):

Батороев писал(а):

Лучше, приведу пример:
Для начала в таблице выделим диагональ $ 1, 4, 9, 16, 25 ...$. Назовем ее "диагональю квадратов".
Для $ N = 8 $ - клетки в таблице Пифагора с числами: $ 64, 63, 60, 55, 48, 39 $...

Числу 64, например, в таблице Пифагора встречается в 7 различных клетках. Число 63 - в 4 клетках: $1\times63$, $7\times9$, $9\times7$, $63\times1$. О каких именно клетках вы говорите?

Именно о тех диагоналях, где данные числа идут подряд в указанном мною порядке.

Бодигрим писал(а):

Батороев писал(а):

Это порядковый номер наибольшего простого числа, непревышающего $N$.

Может быть порядковый номер наибольшего нечетного простого числа? В любом случае исправьте коллизию обозначений в формуле (1).

Сделаю.

Бодигрим писал(а):

Re: Вариант гипотетического доказательства гипотезы Гольдбаха.

Батороев писал(а):

$ M _{N}= \pi({2N-3}) + \pi({2N-5}) + \pi({2N-7}) + … + \pi({2N-p_i}) - T_{i-1} $

Я правильно считаю:

$$ M_4=\pi(8-3)+\pi(8-5)+\pi(8-7)-T_{3-1}=2+1+0-3=0? $$

В данном случае $ 2N = 8 $
$ N = 4 $, следовательно, имеем нечетное простое, непревосходящее $ N $, в единственном числе - это $ 3 $ ($ i = 1$ ).
$ M_4 = \pi(8-3) - 0 = 2 $
Таким образом, от 0 до диагонали: $ 16, 15, 12, 7 $ будет два $pq$-числа - $9, 15 $.

[Бодигрим]

Ага, вроде бы разобрался.

Это все хорошо, но я не вижу, как можно легко доказать $M_{N+1}>M_N$ для всех $N$. Я прикинул на глаз - если не ошибся, $M_N\gg \left(N\over\ln N\right)^2$ (ср. http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's ... tification), но асимптотика не может дать нам решение проблемы Гольдбаха.

[RIP]

Бодигрим писал(а):

Это все хорошо, но я не вижу, как можно легко доказать $M_{N+1}>M_N$ для всех $N$.

Так это ж вроде просто переформулировка бинарной проблемы Гольдбаха ( ). Или я чего-то недопонял (особо не вникал: не до того...).

[Бодигрим]

Цитата:

Так это ж вроде просто переформулировка бинарной проблемы Гольдбаха.

Во всяком случае я не вижу, в чем заключается полезность выписанной формулы для $M_N$.

[RIP]

Бодигрим писал(а):

Во всяком случае я не вижу, в чем заключается полезность выписанной формулы для $M_N$.

Я тоже. Подозреваю, что и автор тоже.

[Батороев]

RIP писал(а):

Бодигрим писал(а):

Это все хорошо, но я не вижу, как можно легко доказать $M_{N+1}>M_N$ для всех $N$.

Так это ж вроде просто переформулировка бинарной проблемы Гольдбаха ( ).

Как будто бы я это скрывал, а вы меня раскусили?

RIP писал(а):

Бодигрим писал(а):

Во всяком случае я не вижу, в чем заключается полезность выписанной формулы для $M_N$.

Я тоже. Подозреваю, что и автор тоже.

Иногда бывает полезно посмотреть на задачу с разных углов, поэтому я предложил такую интерпретацию. Вдруг, у кого-нибудь возникли бы новые идеи.
Ну, а если не возникли, то и лад с ним.

Не вижу и вреда от таких выражений.

[RIP]

Батороев писал(а):

RIP писал(а):

Бодигрим писал(а):

Это все хорошо, но я не вижу, как можно легко доказать $M_{N+1}>M_N$ для всех $N$.

Так это ж вроде просто переформулировка бинарной проблемы Гольдбаха ( ).

Как будто бы я это скрывал, а вы меня раскусили?

Да нет, я своим постом просто хотел сказать нечто вроде "Ещё бы Вы это видели!"

Батороев писал(а):

Не вижу и вреда от таких выражений.

Да и я тоже не вижу. Глядишь - и польза из них может выйти, кто их знает. Это я тупой, а кто-нибудь умный посмотрит и может чего и увидит, чем чёрт не шутит.