2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 11:24 


28/10/16
42
Здравствуйте, форумчане!

Разбираюсь с параграфами 4 тома Ландау и мои мозги уже плавятся. У меня издание 2006 года и есть несколько вопросов по параграфам 113, 115, 117, 118.

113 параграф. Рассмотрим выражение 113.12, его предел для случая $|t|\ll 4m^2$ выписан в 113.14 и в числителе стоит $t$. Теперь откроем 118 параграф и посмотрим на формулу, следующую за 118.9. Эта формула имеет вид:
$$\frac{P(f^2)}{f^2}=-\frac{\alpha}{15\pi}\frac{f^2}{m_{\mu}^2},$$
откуда можно заключить, что в 113.14 в числителе должно быть $t^2$, т.к. по смыслу $t=f^2$. Так ли это?

115 параграф. Давайте посчитаем степени пи по ходу вычисления. Интеграл в формуле 115.2 содержит $\pi^3$ в знаменателе. Данный интеграл вычисляется и приводится к виду 115.7, что дает умножение на $\pi^2$, т.е. в знаменателе стоит уже просто $\pi$. Теперь проводим вычисление интеграла дальше и получаем 115.10, где в знаменателе также стоит просто пи. Интегрирование по углу в 115.10 дает умножение на $4\pi$, т.е. теперь выражение для $\Delta P(t)$ не содержит пи в знаменателе. Тогда откуда же появляется постоянная тонкой структуры $\alpha=e^2/(2\pi)$?... Что я делаю не так?

117 параграф. Снова тот же вопрос (см. предыдущий пункт) про степени пи. Нет ли в выражении $-4(p_{-}\cdot p_{+})I\gamma^{\mu}+2mP^{\mu}-3P^2\gamma^{\mu}$ опечатки во втором слагаемом (не потеряна ли двойка, т.е. не 2, а 4)? Если подставить это выражение и вычислить $\operatorname{Im}\,g(t)$, то вроде бы опечатки нет, но все же: уже раза 4 пересчитывал и получается $4mP^{\mu}$.

118 параграф. Вообще не понимаю как получена формула 118.6. Отличие от предыдущего параграфа -- это только множитель $P(f^2)/f^2$ и из-за него нельзя провести интегрирование по углу, но как получается именно 118.6? Мне не нужен детальный вывод, а лишь подсказка как стартуя от 117.7 с изменениями придти к 118.6?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 20:08 


28/10/16
42
В 113.14 однозначно опечатка, вопрос снят (113.15 от 113.14 отличается размерностью)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Посмотрите издание в старой вёрстке (в интернете есть 3-е изд. 1989 г., могу скинуть). При перевёрстке в LaTeX в формулы было внесено досадное количество опечаток. Например, в старой вёрстке
$$\mathscr{P}(t)=-\dfrac{\alpha}{15\pi}\dfrac{t^2}{m^2},\quad|t|\ll 4m^2.\eqno(113,14)$$ В издании 2002 г. эта формула содержит опечатку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 21:59 


28/10/16
42
Ох, спасибо Вам огромное!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я это понял как "спасибо, давайте".
https://filecloud.me/download/folder/2215289
Ссылка на 7 дней. (Файлы скачаны из КолХоза.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 22:21 


28/10/16
42
Нет, это было просто "спасибо", но и за книжки тоже спасибо.

На часть вопросов ответы я нашел

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 22:30 


07/07/12
402

(Оффтоп)

coagulator в сообщении #1375280 писал(а):
Разбираюсь с параграфами 4 тома Ландау и мои мозги уже плавятся.
Не удивительно. Не самый лучший выбор книги для изучения КТП. По ооочень многим причинам. Ну, разве что ваш преподаватель/шеф заставил, а так бы я не брался вообще, можно уйму времени потратить и ничего из этого не извлечь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
physicsworks
А на что переключиться, если человек дошёл аж до 12-й главы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение11.02.2019, 23:26 


07/07/12
402
Munin так отож, уже дошел до 12-й главы. Я бы все-таки открыл Schwarz'а Quantum Field Theory and the Standard Model и посмотрел на те же самые вещи через призму современного изложения. Если же затея не выучить КТП, а иметь общее представление о ней, то это можно сделать за месяц-два (имея хороший бэкграунд, конечно) прочитав Maggiore "A modern introduction to quantum field theory". Ну, а если Maggiore не пойдет (там над некоторыми страницами действительно придется посидеть пару-тройку часов при первом прочтении), я бы открыл Lancaster, Blundell "Quantum Field Theory for the Gifted Amateurs", которые, по-моему, создали что-то на подобии знаменитой книги Тейлора и Уилера только для КТП --- ее можно читать даже школьникам студентам только что закончившим курсы теории поля и имеющим базовые знания КМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение12.02.2019, 10:49 


28/10/16
42
Книжку Lancaster'a я знаю и она мне нравится, я не изучаю КТП по Ландау, мне нужно было разобрать конкретные примеры.

Вычисление диаграмм с одной петлей с помощью дисперсионного соотношения -- это есть в том же Ланкастере? Я что-то не припомню.

Ландау мне тоже не нравится, много чего мне не нравится в этой книге, но она зачастую содержит некоторые хорошие примеры и техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение12.02.2019, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Только это, строго говоря, не Ландау. Эта книга имеет авторов Берестецкий, Лифшиц, Питаевский. Не все тома 10-томника имеют автором Ландау. Конкретно глава 12 - из бывшей 2-й части 4 тома, авторы Лифшиц, Питаевский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение12.02.2019, 14:59 


28/10/16
42
Нахождением старого издания вопросы не исчерпались, увы. Т.к. я уже не знаю где может быть ошибка, то привожу вычисления (небольшой кусок). Стартую с 117.7:
$$-2m^2\gamma^{\mu}+4m(P^{\mu}+2f^{\mu})+2(\gamma p_{+}-\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-}+\gamma f).$$
Раскрываю скобки:
$$=-2m^2\gamma^{\mu}+4mP^{\mu}+2(\gamma p_{+})(\gamma p_{-})+8mf^{\mu}+2((\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma f)-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-}))-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma f).$$
В этом выражении по порядку записаны "скаляр", "вектор" и "тензор" (по $f$). Перекидываю гамма-матрицы в последнем слагаемом для "скаляра":
$$(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})=p_{+\alpha}\gamma^{\alpha}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}p_{-\beta},$$
$$\gamma^{\alpha}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}=(2g^{\alpha\mu}-\gamma^{\mu}\gamma^{\alpha})\gamma^{\beta}=2g^{\alpha\mu}\gamma^{\beta}-\gamma^{\mu}(2g^{\alpha\beta}-\gamma^{\beta}\gamma^{\alpha})=\\=2g^{\alpha\mu}\gamma^{\beta}-2\gamma^{\mu}g^{\alpha\beta}+(2g^{\mu\beta}-\gamma^{\beta}\gamma^{\mu})\gamma^{\alpha}=...$$
$$...=2g^{\alpha\mu}\gamma^{\beta}-2\gamma^{\mu}g^{\alpha\beta}+2g^{\mu\beta}\gamma^{\alpha}-\gamma^{\beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\alpha}.$$
Т.е. последнее слагаемое для "скаляра" имеет вид:
$$2p_{+}^{\mu}(\gamma p_{-})-2\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})+2p_{-}^{\mu}(\gamma p_{+}) -(\gamma p_{-})\gamma^{\mu}(\gamma p_{+}),$$
которое теперь беру в обкладки спиноров $u(p_{-})$ и $u(-p_{+})$:
$$2mp_{+}^{\mu}-2\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})-2 m p_{-}^{\mu}+m^2\gamma^{\mu}=-2mP^{\mu}-2\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})+m^2\gamma^{\mu}.$$
Не забываю его умножить на 2 и сложить с оставшимися членами для "скаляра", получаю $-4\gamma^{\mu}(p_{+}p_{-})$. Отсюда я уверен, что делаю правильно "перекидывание" гамма-матриц в выражении $(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})$. Это важно, потому что для векторной части надо выполнить "перекидывание" два раза:
$$(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})=2f^{\mu}(\gamma p_{-})-2\gamma^{\mu}(f\cdot p_{-})+2p_{-}^{\mu}(\gamma f)-(\gamma p_{-})\gamma^{\mu}(\gamma f),$$
$$(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma f)=2p^{\mu}_{+}(\gamma f)-2\gamma^{\mu}(f\cdot p_{+})+2f^{\mu}(\gamma p_{+})-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{+}).$$
Далее из второго выражения надо вычесть первое, что дает:
$$(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma f)-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})=-2f^{\mu}(\gamma P)-2P^{\mu}(\gamma f)-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{+})+(\gamma p_{-})\gamma^{\mu}(\gamma f)+2\gamma^{\mu}(f\cdot P).$$
Теперь можно подставить вместо $f^{\mu} результат интегрирования, т.е. $-P^{\mu}$. При этом важно заметить, что в последних двух слагаемых снова надо будет "перекинуть" 2 гамма-матрицы. Обкладывая спинорами, первые два слагаемых из последнего выражения дают $+8mP^{\mu}$, самое последнее дает $-2\gamma^{\mu}P^2$. После упрощений третье и четвертое дают просто $-2mP^{\mu}$. В итоге от "вектора" получается $4mP^{\mu}-4\gamma^{\mu}P^2$. От тензора, следуя книжке, легко получить $+\gamma^{\mu}P^2$. В итоге я имею
$$-4\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})+4mP^{\mu}-3P^2\gamma^{\mu},$$
где первое и последнее слагаемое совпадают с ответом из книги, а вот второе -- в два раза больше. Я не понимаю в каком месте может быть ошибка. Т.к. просить разбираться во всех выкладках -- это слишком, то буду рад хотя бы совету какое место вычислений лучше проверить.

[UPD]: выражение для "скаляра" надо домножить на $I$, но это не важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение14.02.2019, 16:30 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
coagulator в сообщении #1375573 писал(а):
Т.к. просить разбираться во всех выкладках -- это слишком, то буду рад хотя бы совету какое место вычислений лучше проверить.

Проверил ваши вычисления. У меня получилось тоже самое, что у вас. Было бы интересно узнать где (или у кого) ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение15.02.2019, 19:33 


28/10/16
42
espe

но если подставлять то, что получилось у меня в выражение для расчета мнимой части формфактора, то очевидно получается другой ответ.

Я больше практически нигде не видел деталей вычислений мнимых частей формфакторов (Берестецкий и Ахиезер эти детали "проглатывают") тоже..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума
Сообщение16.02.2019, 20:52 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
coagulator в сообщении #1376247 писал(а):
но если подставлять то, что получилось у меня в выражение для расчета мнимой части формфактора, то очевидно получается другой ответ.

Я в курсе. У меня никаких идей на этот счёт нет.

coagulator в сообщении #1376247 писал(а):
Я больше практически нигде не видел деталей вычислений мнимых частей формфакторов (Берестецкий и Ахиезер эти детали "проглатывают") тоже..

Я смотрел несколько учебников и ничего похожего тоже не нашёл. Более того, хотел найти оригинальную статью Швингера 1949 года на которую ссылаются в параграфе. Нашёл только две статьи "QED II: ..." и "QED III: ...", но там похожих формул не увидел. Может быть статья другая, может быть я просмотрел, не знаю. Если тыкнете пальцем куда смотреть --- посмотрю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group