Вычисление мнимых частей формфакторов и поляризации вакуума

[coagulator]

Здравствуйте, форумчане!

Разбираюсь с параграфами 4 тома Ландау и мои мозги уже плавятся. У меня издание 2006 года и есть несколько вопросов по параграфам 113, 115, 117, 118.

113 параграф. Рассмотрим выражение 113.12, его предел для случая $|t|\ll 4m^2$ выписан в 113.14 и в числителе стоит $t$. Теперь откроем 118 параграф и посмотрим на формулу, следующую за 118.9. Эта формула имеет вид:

$$\frac{P(f^2)}{f^2}=-\frac{\alpha}{15\pi}\frac{f^2}{m_{\mu}^2},$$

откуда можно заключить, что в 113.14 в числителе должно быть $t^2$, т.к. по смыслу $t=f^2$. Так ли это?

115 параграф. Давайте посчитаем степени пи по ходу вычисления. Интеграл в формуле 115.2 содержит $\pi^3$ в знаменателе. Данный интеграл вычисляется и приводится к виду 115.7, что дает умножение на $\pi^2$, т.е. в знаменателе стоит уже просто $\pi$. Теперь проводим вычисление интеграла дальше и получаем 115.10, где в знаменателе также стоит просто пи. Интегрирование по углу в 115.10 дает умножение на $4\pi$, т.е. теперь выражение для $\Delta P(t)$ не содержит пи в знаменателе. Тогда откуда же появляется постоянная тонкой структуры $\alpha=e^2/(2\pi)$?... Что я делаю не так?

117 параграф. Снова тот же вопрос (см. предыдущий пункт) про степени пи. Нет ли в выражении $-4(p_{-}\cdot p_{+})I\gamma^{\mu}+2mP^{\mu}-3P^2\gamma^{\mu}$ опечатки во втором слагаемом (не потеряна ли двойка, т.е. не 2, а 4)? Если подставить это выражение и вычислить $\operatorname{Im}\,g(t)$, то вроде бы опечатки нет, но все же: уже раза 4 пересчитывал и получается $4mP^{\mu}$.

118 параграф. Вообще не понимаю как получена формула 118.6. Отличие от предыдущего параграфа -- это только множитель $P(f^2)/f^2$ и из-за него нельзя провести интегрирование по углу, но как получается именно 118.6? Мне не нужен детальный вывод, а лишь подсказка как стартуя от 117.7 с изменениями придти к 118.6?

[coagulator]

В 113.14 однозначно опечатка, вопрос снят (113.15 от 113.14 отличается размерностью)

[Munin]

Посмотрите издание в старой вёрстке (в интернете есть 3-е изд. 1989 г., могу скинуть). При перевёрстке в LaTeX в формулы было внесено досадное количество опечаток. Например, в старой вёрстке

$$\mathscr{P}(t)=-\dfrac{\alpha}{15\pi}\dfrac{t^2}{m^2},\quad|t|\ll 4m^2.\eqno(113,14)$$

В издании 2002 г. эта формула содержит опечатку.

[coagulator]

Ох, спасибо Вам огромное!

[Munin]

Я это понял как "спасибо, давайте".
https://filecloud.me/download/folder/2215289
Ссылка на 7 дней. (Файлы скачаны из КолХоза.)

[coagulator]

Нет, это было просто "спасибо", но и за книжки тоже спасибо.

На часть вопросов ответы я нашел

[physicsworks]

(Оффтоп)

coagulator в сообщении #1375280 писал(а):

Разбираюсь с параграфами 4 тома Ландау и мои мозги уже плавятся.

Не удивительно. Не самый лучший выбор книги для изучения КТП. По ооочень многим причинам. Ну, разве что ваш преподаватель/шеф заставил, а так бы я не брался вообще, можно уйму времени потратить и ничего из этого не извлечь.

[Munin]

physicsworks
А на что переключиться, если человек дошёл аж до 12-й главы?

[physicsworks]

Munin так отож, уже дошел до 12-й главы. Я бы все-таки открыл Schwarz'а Quantum Field Theory and the Standard Model и посмотрел на те же самые вещи через призму современного изложения. Если же затея не выучить КТП, а иметь общее представление о ней, то это можно сделать за месяц-два (имея хороший бэкграунд, конечно) прочитав Maggiore "A modern introduction to quantum field theory". Ну, а если Maggiore не пойдет (там над некоторыми страницами действительно придется посидеть пару-тройку часов при первом прочтении), я бы открыл Lancaster, Blundell "Quantum Field Theory for the Gifted Amateurs", которые, по-моему, создали что-то на подобии знаменитой книги Тейлора и Уилера только для КТП --- ее можно читать даже школьникам студентам только что закончившим курсы теории поля и имеющим базовые знания КМ.

[coagulator]

Книжку Lancaster'a я знаю и она мне нравится, я не изучаю КТП по Ландау, мне нужно было разобрать конкретные примеры.

Вычисление диаграмм с одной петлей с помощью дисперсионного соотношения -- это есть в том же Ланкастере? Я что-то не припомню.

Ландау мне тоже не нравится, много чего мне не нравится в этой книге, но она зачастую содержит некоторые хорошие примеры и техники.

[Munin]

Только это, строго говоря, не Ландау. Эта книга имеет авторов Берестецкий, Лифшиц, Питаевский. Не все тома 10-томника имеют автором Ландау. Конкретно глава 12 - из бывшей 2-й части 4 тома, авторы Лифшиц, Питаевский.

[coagulator]

Нахождением старого издания вопросы не исчерпались, увы. Т.к. я уже не знаю где может быть ошибка, то привожу вычисления (небольшой кусок). Стартую с 117.7:

$$-2m^2\gamma^{\mu}+4m(P^{\mu}+2f^{\mu})+2(\gamma p_{+}-\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-}+\gamma f).$$

Раскрываю скобки:

$$=-2m^2\gamma^{\mu}+4mP^{\mu}+2(\gamma p_{+})(\gamma p_{-})+8mf^{\mu}+2((\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma f)-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-}))-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma f).$$

В этом выражении по порядку записаны "скаляр", "вектор" и "тензор" (по $f$). Перекидываю гамма-матрицы в последнем слагаемом для "скаляра":

$$(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})=p_{+\alpha}\gamma^{\alpha}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}p_{-\beta},$$

$$\gamma^{\alpha}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}=(2g^{\alpha\mu}-\gamma^{\mu}\gamma^{\alpha})\gamma^{\beta}=2g^{\alpha\mu}\gamma^{\beta}-\gamma^{\mu}(2g^{\alpha\beta}-\gamma^{\beta}\gamma^{\alpha})=\\=2g^{\alpha\mu}\gamma^{\beta}-2\gamma^{\mu}g^{\alpha\beta}+(2g^{\mu\beta}-\gamma^{\beta}\gamma^{\mu})\gamma^{\alpha}=...$$

$$...=2g^{\alpha\mu}\gamma^{\beta}-2\gamma^{\mu}g^{\alpha\beta}+2g^{\mu\beta}\gamma^{\alpha}-\gamma^{\beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\alpha}.$$

Т.е. последнее слагаемое для "скаляра" имеет вид:

$$2p_{+}^{\mu}(\gamma p_{-})-2\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})+2p_{-}^{\mu}(\gamma p_{+}) -(\gamma p_{-})\gamma^{\mu}(\gamma p_{+}),$$

которое теперь беру в обкладки спиноров $u(p_{-})$ и $u(-p_{+})$:

$$2mp_{+}^{\mu}-2\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})-2 m p_{-}^{\mu}+m^2\gamma^{\mu}=-2mP^{\mu}-2\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})+m^2\gamma^{\mu}.$$

Не забываю его умножить на 2 и сложить с оставшимися членами для "скаляра", получаю $-4\gamma^{\mu}(p_{+}p_{-})$. Отсюда я уверен, что делаю правильно "перекидывание" гамма-матриц в выражении $(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})$. Это важно, потому что для векторной части надо выполнить "перекидывание" два раза:

$$(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})=2f^{\mu}(\gamma p_{-})-2\gamma^{\mu}(f\cdot p_{-})+2p_{-}^{\mu}(\gamma f)-(\gamma p_{-})\gamma^{\mu}(\gamma f),$$

$$(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma f)=2p^{\mu}_{+}(\gamma f)-2\gamma^{\mu}(f\cdot p_{+})+2f^{\mu}(\gamma p_{+})-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{+}).$$

Далее из второго выражения надо вычесть первое, что дает:

$$(\gamma p_{+})\gamma^{\mu}(\gamma f)-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{-})=-2f^{\mu}(\gamma P)-2P^{\mu}(\gamma f)-(\gamma f)\gamma^{\mu}(\gamma p_{+})+(\gamma p_{-})\gamma^{\mu}(\gamma f)+2\gamma^{\mu}(f\cdot P).$$

Теперь можно подставить вместо $f^{\mu} результат интегрирования, т.е. $-P^{\mu}$. При этом важно заметить, что в последних двух слагаемых снова надо будет "перекинуть" 2 гамма-матрицы. Обкладывая спинорами, первые два слагаемых из последнего выражения дают $+8mP^{\mu}$, самое последнее дает $-2\gamma^{\mu}P^2$. После упрощений третье и четвертое дают просто $-2mP^{\mu}$. В итоге от "вектора" получается $4mP^{\mu}-4\gamma^{\mu}P^2$. От тензора, следуя книжке, легко получить $+\gamma^{\mu}P^2$. В итоге я имею

$$-4\gamma^{\mu}(p_{-}\cdot p_{+})+4mP^{\mu}-3P^2\gamma^{\mu},$$

где первое и последнее слагаемое совпадают с ответом из книги, а вот второе -- в два раза больше. Я не понимаю в каком месте может быть ошибка. Т.к. просить разбираться во всех выкладках -- это слишком, то буду рад хотя бы совету какое место вычислений лучше проверить.

[UPD]: выражение для "скаляра" надо домножить на $I$, но это не важно.

[espe]

coagulator в сообщении #1375573 писал(а):

Т.к. просить разбираться во всех выкладках -- это слишком, то буду рад хотя бы совету какое место вычислений лучше проверить.

Проверил ваши вычисления. У меня получилось тоже самое, что у вас. Было бы интересно узнать где (или у кого) ошибка.

[coagulator]

espe

но если подставлять то, что получилось у меня в выражение для расчета мнимой части формфактора, то очевидно получается другой ответ.

Я больше практически нигде не видел деталей вычислений мнимых частей формфакторов (Берестецкий и Ахиезер эти детали "проглатывают") тоже..

[espe]

coagulator в сообщении #1376247 писал(а):

но если подставлять то, что получилось у меня в выражение для расчета мнимой части формфактора, то очевидно получается другой ответ.

Я в курсе. У меня никаких идей на этот счёт нет.

coagulator в сообщении #1376247 писал(а):

Я больше практически нигде не видел деталей вычислений мнимых частей формфакторов (Берестецкий и Ахиезер эти детали "проглатывают") тоже..

Я смотрел несколько учебников и ничего похожего тоже не нашёл. Более того, хотел найти оригинальную статью Швингера 1949 года на которую ссылаются в параграфе. Нашёл только две статьи "QED II: ..." и "QED III: ...", но там похожих формул не увидел. Может быть статья другая, может быть я просмотрел, не знаю. Если тыкнете пальцем куда смотреть --- посмотрю.