Альтернатива МНК и MAD

[Korvin]

Коллеги, столкнулся с такой вещью. Есть временной ряд, который аппроксимируется моделью с конструктивной валидностью. Варианты МНК или MAD, но на некоторых функциях прекрсно работает метод нулевой суммы отклонений, т.е. подыскиваются параметры, с которыми сумма отклонений вверх равна сумме отклонений вниз.
Сознаю, что метод дикий и никак обоснован быть не может, скажем если временной ряд линейная зависимость, то условию нулевой суммы отклонений удовлетворяет любая проходящая через центр ряда прямая, с любым углом между двумя отрезками, исключая может быть 90 градусов.
Но на реальных зависимостях (у меня в основном обратные экспоненты с наложенными случайными отклонениями, которые не факт что распределены нормально, т.е. приближение к какой-то асимптоте на протяжении 2-5 постоянных времени) работает прекрасно, если хорошее нулевое приближение, хотя бы по МНК. Этот метод чуть подправляет параметры по МНК, тот же Эксель в Поиске решения. Никакого множества решений, и решение быстро находится итерациями, никакого разноса.
Интуитивно для меня достоинство то, что к концу ряда все погрешности накапливаются и сводятся к 0 по определению, иногда это важно.
Существует ли нечто подобное, и обосновывается ли оно?

[Korvin]

Выше случайно оговорился, при линейной зависимости годилась бы любая прямая, кроме вертикальной.
Здесь пример реальной завсисимости с 3 аппроксимациями экспонентой, с 0-суммой отклонений, МНК и MAD. Близки МНК и MAD, 0-сумма отклоняется от них. Выше и асимптота и постоянная времени. Но: если в частном случае, как здесь, отклонения считаются не случайными отклонениями по Гауссу, и тогда только МНК, а какими-то отклонениями в энергии физиологического процесса, и при неучтожимости энергии она может только накапливаться или где-то заимствоваваться и переходить по времени на другие дни.
Тогда не правильней ли будет при аппроксимации следить за нулевой суммой к концу достаточно длинного процесса? Имеет ли право такой метод быть, хотя основная проблема - устойчивость решения, пример неустойчивого приводился - линейная зависимость.

[Евгений Машеров]

Честно говоря, по этому графику мне более адекватной кажется МНК приближение, и МАО тоже лучше "сумманулевой". Отклонения в правой части явно велики, и перекрывают отклонения в середине. Ну и хотелось бы мне видеть модель. Не понимаю, где экспонента спряталась. Смахивает на степенную $y=ax^\alpha$.

[Korvin]

Евгений Машеров в сообщении #1375757 писал(а):

Честно говоря, по этому графику мне более адекватной кажется МНК приближение, и МАО тоже лучше "сумманулевой". Отклонения в правой части явно велики, и перекрывают отклонения в середине. Ну и хотелось бы мне видеть модель. Не понимаю, где экспонента спряталась. Смахивает на степенную $y=ax^\alpha$.

Все 3 графика обратные экспоненты,
МНК асимптота 7,28 постоянная времени 16,82
MAD асимптота 7,19 постоянная времени 16,37
0-сумма здесь асимптота 8,90 постоянная времени 25,16. Хотя возможны множественные решения, но в ряде случаев получается семейство с зависимостью асимптоты от пост. времени, и по другим соображениям и другому семейству на пересечении находится ответ, что-то вроде сист. 2 уравн. с 2 неизв.

[Евгений Машеров]

Дело в том, что, если асимптота - оцениваемый параметр, то на нулевую сумму отклонений выходим при любом выборе прочих параметров.

[Korvin]

Евгений Машеров в сообщении #1375813 писал(а):

Дело в том, что, если асимптота - оцениваемый параметр, то на нулевую сумму отклонений выходим при любом выборе прочих параметров.

Я не совсем понял насчет прочих параметров, при задании асимптоты (а не оценке) находится всего 1 параметр - пост. времени, но и здесь есть ограничения. По приведенным данным при асимптоте<4,84 решения не существует, а при 4,84 экспонента вырождается в скачок, т.е. экспонента с пост. времени 0.
Да, решений много, но я в начале писал, что нужно хорошее нулевое приближение, то же решение по МНК, и тогда зависимость подстраивается под сумму-0, что иногда из физиологии адекватнее.
Благодарю за помощь, помогло доскональнее разобраться.
Возможно, существует еще и иной вариант - из множества решений, когда в семействе решений есть зависимость асимптоты от пост. времени, выбрать именно то, где еще и среднее кв. откл. будет минимально - но с МНК это совпадать не будет, при МНК дисперсия меньше, а сумма отклонений 0 не равна.
Хотя и для практики при 30-40 измерениях вряд ли это значимо.

[Евгений Машеров]

Ну вот модель $y_t=A(1-e^{bt})$
Для определённости примем, что $t=0...n$.
Тогда при произвольном выборе b для того, чтобы сумма отклонений была равна нулю, надо, чтобы $\Sigma y_t=\Sum A(1-e^{bt})=A(n+1-\frac {1-e^{b(t+1)}} {1-e^b})$
откуда $A=\frac {\Sigma y_t}{n+1-\frac {1-e^{b(t+1)}} {1-e^b}}$
Иначе говоря, оценить b в такой модели невозможно. Любое значение годится.

[Korvin]

Евгений Машеров в сообщении #1375961 писал(а):

Иначе говоря, оценить b в такой модели невозможно. Любое значение годится.

Да, я в теме, спасибо. Речь может идти только о выявлении семейства зависимостей, которое при других исходных данных (т.е. по другому семейству) может дать на пересечении решение.