неподвижная точка

[zoo]

Задан линейный оператор (матрица) $A: \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m$ и вектор $b\in \mathbb{R}^m.$
Зададим аффинный оператор формулой $P(x)=Ax+b$.

Доказать, что если для некоторой точки $x_0$ все натуральные степени $P$ ограничены:
$\sup_{n\in \mathbb{N}}\|P^n(x_0)\|\le c$ то существует точка $u$ такая, что $P(u)=u$.

[Профессор Снэйп]

Пусть

$$ X = \{ Ax - x : x \in \mathbb{R}^m \} $$

Если $b \in X$, то неподвижной точкой $P$ будет вектор $-v$, для которого $Av-v=b$. Если же $b \not\in X$, то найдётся линейный функционал $f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, для которого $f(b)=1$ и $f(x)=0$ при всех $x \in X$. Но тогда $f(P^n(x_0)) = f(x_0)+n$ для любых $n \in \mathbb{N}$ и $x_0 \in \mathbb{R}^m$, так что множество

$$ \{ \| P^n(x_0) \| : n \in \mathbb{N} \} $$

не может быть ограничено, какое бы $x_0 \in \mathbb{R}^m$ мы не взяли.

[zoo]

это самое короткое доказательство, из тех, что мне приходилось видеть. Вы не возражете, если мы заменим $\mathbb{R}^m$ на рефлексивное банахово пространство $B$, а в качестве $A$ возьмем ограниченный линейный оператор $A:B\to B $? Утверждение задачи остается в силе.

[Профессор Снэйп]

Не могу возражать, поскольку функан сдавал много лет назад и уже успел подзабыть. Вызывает подозрение тот факт, что $X$ обязано быть замкнутым. Или не обязано? Просто вдруг окажется, что $b$ не принадлежит $X$, но принадлежит замыканию $X$. Будет ли тогда это доказательство работать?

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Не могу возражать, поскольку функан сдавал много лет назад и уже успел подзабыть. Вызывает подозрение тот факт, что $X$ обязано быть замкнутым. Или не обязано?

не обязано и Ваше доказательство я не знаю как модифицировать на бесконечномерный случай. Я выложу потом общее доказательство, пока хочу посмотреть, вдруг, кто-нибудь предложит и в общем случае более короткое чем у меня.

[Профессор Снэйп]

Рефлексивное --- это когда $B''=B$ (ну, точнее, не равно, а каноническое вложение $B$ в $B''$ сюрьективно)? Или как-то по другому? К сожалению, не помню уже точно.

И если да, то какими замечательными свойсвами обладают рефлексивные пространства? И каковы примеры рефлексивных пространств? К примеру, $l_2$ рефлексивно или нет?

[Юстас]

Определение верное. Гильбертовы пространства, в частности $l_2$, рефлексивны. Из важных известных мне свойств - в рефлексивном пространстве единичный шар слабо компактен, подробнее можно в английской википедии почитать.

[TOTAL]

Я пространства не знаю, может быть, из этого что извлечете:

$$y_n=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}P^i(x_0)$$

$$P(y_n) - y_n = \frac{1}{n+1} \left(P^{n+1}(x_0) - x_0\right)$$

[zoo]

мое доказательство тоже основано на этой последовательности

[RIP]

Вот это похоже на решение?
Пусть (в обозначениях TOTALа) некоторая подпоследовательность $y_{n_k}$ слабо сходится к $y$. Обозначим $z=P(y)-y$. Тогда $\forall f\in B^*$

$$\langle f,z\rangle=\lim_{k\to\infty}\langle f,P(y_{n_k})-y_{n_k}\rangle=0,$$

следовательно, $z=0$.

[Юстас]

Интересно, как TOTAL эту последовательность нашел

[zoo]

RIP писал(а):

Вот это похоже на решение?
Пусть (в обозначениях TOTALа) некоторая подпоследовательность $y_{n_k}$ слабо сходится к $y$. Обозначим $z=P(y)-y$. Тогда $\forall f\in B^*$

$$\langle f,z\rangle=\lim_{k\to\infty}\langle f,P(y_{n_k})-y_{n_k}\rangle=0,$$

следовательно, $z=0$.

да похоже.

И так Крллеги, совместными усилиями мы обобщили на бесконечномерный случай знаменитую теорему Массера

[Профессор Снэйп]

Просветите теперь меня, наполовину забывшего функан, где мы там использовали рефлексивность $B$.

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

Просветите теперь меня, наполовину забывшего функан, где мы там использовали рефлексивность $B$.

Использовалась слабая компактность шара в $B$ (когда выбирали слабо сходящуюся подпоследовательность $y_{n_k}$).