3, 5, 8, 11, 12 и 20

[Ktina]

Докажите, что числа 3, 5, 8, 11, 12 и 20 не могут являться ни попарными суммами, ни попарными разностями, ни попарными произведениями, ни попарными частными некоторых четырёх вещественных чисел.

[waxtep]

Общего красивого не смог увидеть, но, с каждой операцией в отдельности расправиться можно ("пусть $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$" - и дальше смотреть кто из них кто должен получиться, и где возникает противоречие). Вот самый близкий вариант ("почти-решение") для попарного умножения, для примера:

$$\sqrt\frac{15}{11}\left\{4,\frac{11}3,\frac{11}5,1\right\}\rightarrow\left\{3,5,\frac{60}{11},11,12,20\right\}$$

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!

[fiviol]

Если 6 чисел - попарные произведения четырех чисел, то эти 6 чисел разбиваются на три пары, таких, что произведения во всех парах одинаковые (и равны произведению всех четырех исходных чисел). Указанные 6 чисел, очевидно, этим свойством не обладают.
Если 6 чисел - попарные суммы четырех чисел, то эти 6 чисел разбиваются на три пары, таких, что суммы во всех парах одинаковые (и равны сумме всех четырех исходных чисел). Указанные 6 чисел, очевидно, этим свойством не обладают.

Дальше сами.