2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 сумма с корнями из единицы
Сообщение08.02.2019, 23:16 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5367
Для всякого натурального $n$ докажите:
$$\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^k\omega^{\frac{k(3k+1)}{2}}}{1-\omega^{3k}}=-\frac{n+1}{2},$$
где $\omega$ - это примитивный корень степени $3n+2$ из единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: сумма с корнями из единицы
Сообщение17.04.2019, 07:35 
Заслуженный участник


20/12/10
5686
Сумма интересна тем, что ее значение не зависит от выбора примитивного корня, и эта независимость нетривиальна (при замене одного примитивного корня другим меняется состав слагаемых, а не, как это бывает в обычных тригонометрических тождествах, слагаемые просто переставляются). Ниже я приведу свое частичное (недо)решение, поскольку его идея никак не пересекается с идеей оригинального решения, но, в принципе, может быть полезна как технический прием. Далее вместо $\omega$ используется буква $\zeta$. Предполагается, что число $3n+2$ --- простое, а искомое значение суммы является рациональным числом (что, конечно, a priori неочевидно).

Заметим, что если $k+l=2n+1$, то
$$
\zeta^{k(3k+1)/2}=\zeta^{l(3l+1)/2}, \quad \zeta^{3k}=\zeta^{-3l-1}.
$$
В частности, имеем
$$
\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k\zeta^{k(3k+1)/2}=-\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\zeta^{l(3l+1)/2}=-1.
$$
Следовательно,
$$
\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k\,\frac{\zeta^{k(3k+1)/2}}{1-\zeta^{3k}}=
-\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\,\frac{\zeta^{l(3l+1)/2}}{1-\zeta^{-3l-1}}=
\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\,\frac{\zeta^{l(3l+1)/2}}{1-\zeta^{3l+1}}-1.
$$
Далее вычислим сумму
$$
S=\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\,\frac{\zeta^{l(3l+1)/2}}{1-\zeta^{3l+1}}
$$
при условии, что $N=3n+2$ --- простое число, а $S$ --- рациональное число. При сделанных предположениях
$$
\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\,\frac{\zeta^{l(3l+1)j/2}}{1-\zeta^{(3l+1)j}}=S
\eqno(*)
$$
для любого $j=1,\,2,\,\dots,\,N-1$ (можно привлечь автоморфизм $\phi:\mathbb{Q}(\zeta) \to \mathbb{Q}(\zeta)$, заданный условием $\phi(\zeta)=\zeta^j$). Также заметим, что для любого натурального $N$ верны равенства
$$
\sum_{j=1}^{N-1}\frac{\zeta^{mj}}{1-\zeta^j}=-\frac{N+1}{2}+m \quad (m=1,\,2,\,\dots,\,N).
$$
Для доказательства можно воспользоваться стандартным способом вычисления подобных тригонометрических сумм.

Просуммировав равенства $(*)$, получим
$$
(N-1)S=\sum_{j=1}^{N-1}\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\,\frac{\zeta^{l(3l+1)j/2}}{1-\zeta^{(3l+1)j}}=
\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\sum_{j=1}^{N-1}\frac{\zeta^{l(3l+1)j/2}}{1-\zeta^{(3l+1)j}}.
$$
Поскольку $\gcd{(3l+1,N)}=1$ при $0 \leqslant l \leqslant 2n$, имеем
$$
\sum_{j=1}^{N-1}\frac{\zeta^{l(3l+1)j/2}}{1-\zeta^{(3l+1)j}}=
\sum_{j=1}^{N-1}\frac{\zeta^{m_lj}}{1-\zeta^j}=-\frac{N+1}{2}+m_l,
$$
где целые числа $m_l$ удовлетворяют условиям
$$
m_l \equiv l/2 \pmod{N}, \quad 1 \leqslant m_l \leqslant N.
$$
Следовательно,
$$
(N-1)S=\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\left(-\frac{N+1}{2}+m_l\right).
\eqno(**)
$$
Ясно, что $m_0=N$, а при $s=1,\,2,\,\dots,\,n$ имеем
$$
m_{2s-1}=\frac{N-1}{2}+s, \quad m_{2s}=s.
$$
Теперь сумму в правой части равенства $(**)$ легко вычислить:
$$
\sum_{l=0}^{2n}(-1)^l\left(-\frac{N+1}{2}+m_l\right)=
$$
$$
=\frac{N-1}{2}+\sum_{s=1}^n\left(-\frac{N+1}{2}+m_{2s}\right)-
\sum_{s=1}^n\left(-\frac{N+1}{2}+m_{2s-1}\right)=
$$
$$
=\frac{N-1}{2}+\sum_{s=1}^n(m_{2s}-m_{2s-1})=-\frac{(N-1)(n-1)}{2}.
$$
В итого получим
$$
(N-1)S=-\frac{(N-1)(n-1)}{2},
$$
откуда и следует нужная формула для $S$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group