Сохранение нормировки

[StaticZero]

Добрый день. Что-то я туплю дико. Пусть $\mathbf a \in \mathbb R^n$ --- вектор в пространстве параметров и гамильтониан зависит от этих параметров: $\mathcal H = \mathcal H(\mathbf a)$. Можно для простоты представить, что $n = 1$ и параметр один: $\mathcal H(a)$. Предположим, что $\Psi(a)$ --- какая-то из собственных функций гамильтониана.

Говорят, что

$$\frac{\partial}{\partial a} \left \langle \Psi(a) \middle| \Psi(a) \right \rangle = 0\eqno{(*)}$$

и я не могу взять в толк, а почему, собственно? Ну то есть мы можем, конечно, нормировать при каждом значении $a$, но сама-то волновая функция от $a$ зависит, и не видно причины, почему скалярное произведение внезапно не должно, то есть выглядит как-то не убедительно.

А попытка решения --- через теорию возмущений, например: достаточно показать, что в первом порядке теории возмущений $ \left \langle \Psi(a) \middle| \Psi(a) \right \rangle$ не меняется. Если у $\mathcal H$ спектр чисто дискретный, то верно более сильное утверждение, что $\frac{\partial \left| \Psi(a) \right \rangle}{\partial a} = 0$, откуда требуемое естественно следует. Но вопрос такой: а можно ли убедиться в справедливости $(*)$, не залезая в теорию возмущений (каким-то более прямым методом, но не рукомахательным)?

[pppppppo_98]

ну наверное нормировали на 1 собственную функцию...В дискретном спектре обычно так и делают.

-- Пт фев 08, 2019 03:25:59 --

StaticZero в сообщении #1374810 писал(а):

Если у $\mathcal H$ спектр чисто дискретный, то верно более сильное утверждение, что $\frac{\partial \left| \Psi(a) \right \rangle}{\partial a} = 0$

а вот это не верно. возьмите основное состояние оссцилятора с меняющейся частотой в качестве параметра и убедитесь, что сказанное вами не имеет места быть.

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1374810 писал(а):

не видно причины, почему скалярное произведение внезапно не должно,

Гамильтониан нормировку не определяет. Посему как хотим, так ее, нормировку и устраиваем. Например, чтобы она не менялась при смене параметра. Можно устроить и так, чтобы менялась. Причем по какому угодно закону. Доказать, что не меняется, невозможно. Это просто наложенное "руками" условие.

[Munin]

Совсем на пальцах (для дискретного спектра).

Мы имеем пространство векторов. Собственный вектор гамильтониана - означает подпространство, например, прямую. Нормировка - единичное расстояние от начала координат, то есть мы на прямой выделяем точку (на самом деле ещё с точностью до комплексной фазы; а если там не прямая, а плоскость - то ещё более высокоразмерное множество). На самом деле, можно рассматривать нормировку вообще любых векторов, она выделяет сферу, а сейчас мы взяли пересечение сферы с собственным подпространством гамильтониана.

Введём зависимость от параметра $a.$ Собственное пространство гамильтониана начинает "шевелиться" туда-сюда. Но условие нормировки не меняется. Значит, все нормированные собственные векторы продолжают лежать на сфере. Можно рассматривать их движение как движение по траектории на сфере, параметризованное $a.$ Очевидно, что норма этих векторов постоянна, то есть $(\partial/\partial a)\langle\Psi(a)|\Psi(a)\rangle=0.$ Но так же очевидно, что сами векторы, их направления, могут меняться, то есть $(\partial/\partial a)|\Psi(a)\rangle\ne 0.$

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1374849 писал(а):

Нормировка - единичное расстояние от начала координат

Нормировать можно не на единицу, а, например, на объём пространства (объём ящика), который зависит от параметров.

[StaticZero]

Munin, спасибо, дошло!

pppppppo_98 в сообщении #1374820 писал(а):

основное состояние оссцилятора

$$ \Psi = \frac{1}{\sqrt[4]\pi} \exp \left(-\frac{\xi^2}{2}\right) $$

от $\omega$ напрямую не зависит --- но и у нас не $\mathrm d/\mathrm d \omega$, а $\partial / \partial \omega$...

[pppppppo_98]

StaticZero в сообщении #1374873 писал(а):

Munin, спасибо, дошло!

pppppppo_98 в сообщении #1374820 писал(а):

основное состояние оссцилятора

$$ \Psi = \frac{1}{\sqrt[4]\pi} \exp \left(-\frac{\xi^2}{2}\right) $$

от $\omega$ напрямую не зависит --- но и у нас не $\mathrm d/\mathrm d \omega$, а $\partial / \partial \omega$...

Угадал все буквы - не смог назвать слова (с)

А какое определение $\xi$ случаем не напомните.

[StaticZero]

Кажется, мне пора бы отдохнуть.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1374810 писал(а):

Если у $\mathcal H$ спектр чисто дискретный, то верно более сильное утверждение, что $\frac{\partial \left| \Psi(a) \right \rangle}{\partial a} = 0$, откуда требуемое естественно следует.

Выше же ответили, но вообще этот вопрос более приземлённый, чем вопрос про осциллятор: посмотрите на какой-нибудь простейший пример, при котором $\mathcal H(a)$ не коммутирует с $\mathcal H(b)$ при разных $a,b$. Например, $\mathcal H(a)=\begin{pmatrix} a&1\\1&0\end{pmatrix}$. Собственные вектора можно найти руками, можно с помощью той же теории возмущений (кстати, тот факт, что существуют ряды теории возмущений для собственных векторов не наводит на мысль, что они скорее всего не будут константами по $a$?), а можно доказать общее утверждение: если существует общий собственный базис, не зависящий от $a$, то все операторы $\mathcal H(a)$ будут коммутировать друг с другом. Заодно можно и "тогда и только тогда" попробовать доказать, для начала в конечномерном случае.