Взаимно простые множества

[Soul Friend]

Взаимно простыми множествами назовём такие множества: каждый элемент одного множества взаимно простое с каждым элементом другого множества.
Пример:
$A=\{ prime (n) \} \, ; \, n\equiv 1 \, \mod (3) $
$B=\{ prime (m) \} \, ; \, m\equiv 2 \, \mod (3) $
Так, вместо 3 может быть другое простое число. В этом случае количества взаимно простых множеств будет расти.

for (i=2, 9, if(prime(i)%3==1, print1(prime(i), ";", "  ")))

Так как простых чисел бесконечно, то с каждым появлением нового простого числа увеличиваются количества взаимно простых множеств (и меняется состав элементов в этих множествах). Это меня наводит на мысль, что таким образом универсальной формулы для вычисления всех взаимно простых чисел $m$ и $n$ не существует. (отсылка к примитивным Пифагоровы тройкам)
Предложенный способ генерации взаимно простых множеств может не покрывать все взаимно простые числа, например: 15 и 77.
{3, 5}; {7, 11}.

Немного отвлекусь: так как в примитивной Пифагоровой тройке x, y, z они взаимно просты, а их вычисление зависит от другой пары взаимно простых m и n, то можно далее использовать x, y или y, z (в качестве m и n) для вычисления другой примитивной Пифагоровой тройки, и так далее до бесконечности.

[mihaild]

Ничего не понял. Очевидно что существует счетное семейство бесконечных попарно взаимно простых множеств (а более чем счетного не существует). Как это связано с какими-то формулами и с пифагоровыми тройками?

[Soul Friend]

Я искал раньше формулу (из $n$ переменных) для вычисления всех примитивных Пифагоровых троек без перебора. Но из за:

mihaild в сообщении #1373450 писал(а):

Очевидно что существует счетное семейство бесконечных попарно взаимно простых множеств

такой формулы не может существовать, так как при любых комбинациях элементов из такого счётного семейства множеств может найтись такая пара взаимно простых чисел, что не вошло в эти комбинации, иначе пришлось бы использовать бесконечное количество переменных для бесконечных таких семейств. (Так, империческое мышление.)

mihaild в сообщении #1373450 писал(а):

Очевидно что существует счетное семейство бесконечных попарно взаимно простых множеств

Только во множественном числе: "существуют бесконечное количество счётных семейств из бесконечных (элементов), попарно взаимно простых, множеств".
И не обязательно попарно.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1373443 писал(а):

Пример:
$A=\{ prime (n) \} \, ; \, n\equiv 1 \, \mod (3) $
$B=\{ prime (m) \} \, ; \, m\equiv 2 \, \mod (3) $

Имелось в виду это:
$A=\{ prime (n_1), \, prime (n_2), \, prime (n_3) , \, ... , \, prime (n_\infty)\} \, ; \, prime(n_i)\equiv 1 \, \mod (3) $
$B=\{ prime (m_1), \, prime (m_2), \, prime (m_3) , \, ... , \, prime (m_\infty)\} \, ; \, prime(m_i)\equiv 2 \, \mod (3) $
В коде я писал правильно:

Soul Friend в сообщении #1373443 писал(а):

Код:

for (i=2, 9, if(prime(i)%3==1, print1(prime(i), ";", " ")))

[mihaild]

Soul Friend в сообщении #1373562 писал(а):

такой формулы не может существовать

Поскольку в вашем рассуждении никак не используется, из каких функций мы собираем формулу, то оно очевидно неправильное.

Soul Friend в сообщении #1373562 писал(а):

Только во множественном числе: "существуют бесконечное количество счётных семейств из бесконечных (элементов), попарно взаимно простых, множеств"

И не в лотерею, а в преферанс, и не выиграл, а проиграл. Это уже другое утверждение (впрочем, тривиально следующее из моего, которое в свою очередь тривиально следует из существования просто бесконечного семейства бесконечных попарно простых множеств).

[Soul Friend]

mihaild в сообщении #1374288 писал(а):

И не в лотерею, а в преферанс, и не выиграл, а проиграл.

Да, это я себя поправлял из за того что вначале недостаточно точно изъяснился.

Найдутся ли в таких взаимно простых множествах пара Рут - Аарона?
https://youtu.be/8MbO84Ldn6s
Если нет, то какая минимальная разница между двумя такими (составными взаимопростыми) числами, что сумма их простых множителей равна, и их простые множители из двух разных взаимно простых множеств (сгруппированных по остатку от деления на какое либо одно простое число) ?

Soul Friend в сообщении #1373722 писал(а):

$A=\{ prime (n_1), \, prime (n_2), \, prime (n_3) , \, ... , \, prime (n_\infty)\} \, ; \, prime(n_i)\equiv 1 \, \mod (3) $
$B=\{ prime (m_1), \, prime (m_2), \, prime (m_3) , \, ... , \, prime (m_\infty)\} \, ; \, prime(m_i)\equiv 2 \, \mod (3) $

Пока не могу записать эту задачу в кванторах.

[mihaild]

Так вам нужно чтобы просто простые множители были разные (тогда любая пара Рута-Аарона годится), или чтобы для какого-то простого числа все простые сомножители первого числа давали одинаковые остатки по его модулю, как и все простые сомножители второго?
Во втором случае ответ тоже положительный, и легко находится в уме, глядя на список первых пар.

[Soul Friend]

Да, второе. Определение парам Рута - Аарона, на видео, даётся в тайм лайне начиная с 4:35.
Если для примера взять:
$1330=2\cdot5\cdot7\cdot19 ; \, 2+5+7+19=33$
$1331=11\cdot11\cdot11 ; \, 11+11+11=33$
С числом 1331 понятно, всего одно простое число, а вот 2, 5, 7, 19 по какому простому числу могут давать одинаковые остатки (чтобы в это множество не входило число 11) ?
Или же, это неудачный пример, а есть другие пары подходящие условиям?

[mihaild]

Не собираюсь смотреть непонятные видео. Есть два определения пар Рута-Аарона (например на mathworld): пара $x, x+1$ называется парой Рута-Аарона, если сумма простых сомножителей $x$ равна сумме простых сомножителей $x + 1$ (кратность может учитываться, может нет).

Не надо брать для примера $1330$ и $1331$, надо для примера брать другую пару, чтобы всё сошлось. Ее поиск оставляется в качестве упражнения читателю.

[Soul Friend]

mihaild в сообщении #1374715 писал(а):

Не собираюсь смотреть непонятные видео.

На видео определение даёт Карл Померанс.

mihaild в сообщении #1374715 писал(а):

Не надо брать для примера $1330$ и $1331$, надо для примера брать другую пару, чтобы всё сошлось. Ее поиск оставляется в качестве упражнения читателю.

Спасибо, обнадёжили.

[Lia]

Soul Friend
Намекаю: не надо ссылаться на видео, выписывайте нужные определения здесь.

[Soul Friend]

Lia в сообщении #1374718 писал(а):

Ее поиск оставляется в качестве упражнения читателю.

Единственная пара Рута-Аарона которую нашёл:
$(2^3; \, 3^2)$

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1373562 писал(а):

Я искал раньше формулу (из $n$ переменных) для вычисления всех примитивных Пифагоровых троек без перебора. Но из за:
mihaild в сообщении #1373450

писал(а):
"Очевидно что существует счетное семейство бесконечных попарно взаимно простых множеств"
такой формулы не может существовать,

Ошибался, нашел формулу из двух переменных, который генерирует все примитивные Пифагоровы тройки без условия что переменные взаимопросты, но с некоторым условием, что иногда генерирует не примитивные тройки (когда это происходит, тоже известно). Только, будет ли это интересно для реферируемых журналов. Пока ещё не могу доказать что переменные $m, n$ натуральные, проверил первые двести примитивных троек, всё верно (знаю, с увеличением диапазона проверки - меняется и количество троек).
Если не докажу, всё это будет выглядеть как IMRAD, чего не очень хочется, формула-то на уровне 8-го класса. Хотя, $a^n+b^n=c^n$ тоже кажется незамысловатой.

[ydgin]

Soul Friend в сообщении #1384019 писал(а):

нашел формулу из двух переменных,

Переменная одна.
$(x+y-z)$ - любое четное.

$(x+y-z)^s=q(z-y)(z-x)M_s$

$x=(z-x)+(x+y-z)$
$y=(z-x)+(x+y-z)$
$z=(z-y)+(z-x)+(x+y-z)$

$(x+y-z)^s=q(z-y)(z-x)M_s$

Для $s=2$
$(x+y-z)=2(z-x)(z-y)$
$q=2, M_2=1$

$(z-y)=u^2, 2(z-x)=v^2$
$(x+y-z)=uv$
$u,v$ - целые, $u$ - не кратно $q$.

$x=u^2+uv$
$y=\frac{v^2}{2}+uv$
$z=u^2+\frac{v^2}{2}+uv$

Берем любое четное число ,компьютер делает для него все возможные пифагоровы тройки.

[Soul Friend]

ydgin
ну это уже перебор, а не формула.

Soul Friend в сообщении #1384019 писал(а):

Если не докажу, всё это будет выглядеть как IMRAD

Доказал, и написал статью. Хочу выложить на arxiv.org, если кто может помочь с endorcement, прошу напишите в ЛС.