Топологическая размерность пространства

[D'VIL]

Здравствуйте, можно ли привести интуитивно понятное объяснение, почему топологическая размерность пространства равна $n+1$, хотябы на примере евклидовой плоскости? Как выбирать $\varepsilon$-покрытие точки? Это треугольник, окружающий точку, длины сторон которого устремлены к нулю?

[Someone]

D'VIL в сообщении #1372971 писал(а):

почему топологическая размерность пространства равна $n+1$

Какого пространства?

[D'VIL]

Someone в сообщении #1372984 писал(а):

Какого пространства?

Хотябы евклидова пространства размерности $n$.

[Someone]

D'VIL в сообщении #1372971 писал(а):

хотябы на примере евклидовой плоскости?

О какой из топологических размерностей (основные — $\dim$, $\mathrm{Ind}$, $\mathrm{ind}$) идёт речь? И что такое $n$ для плоскости?

-- Ср янв 30, 2019 21:29:16 --

D'VIL в сообщении #1372986 писал(а):

Хотябы евклидова пространства размерности $n$.

Каждая из трёх указанных топологических размерностей евклидова пространства размерности $n$ равна $n$.

[D'VIL]

Пусть это будет $dim$

Someone в сообщении #1372988 писал(а):

И что такое $n$ для плоскости?

2

Someone в сообщении #1372988 писал(а):

Каждая из трёх указанных топологических размерностей евклидова пространства размерности $n$ равна $n$.

Значит я неправильно все понял. Видимо если $\varepsilon$- покрытие имеет кратность $n+1$, то пространство имеет топологическую размерность $n$?

И вообще, просто размерность-это то, что считалось таковой на интуитивном уровне, а топологическая это то же самое, но строго определённое с помощью $\varepsilon$- покрытий?

[D'VIL]

И насчёт $\varepsilon$ - покрытий, для евклидовой плоскости- это будет треугольник, внутри которого ограничена точка и длины сторон которого не превышают $\varepsilon$? Для прямой - две точки, удаленные на расстояние не более чем $\varepsilon$ от точки? Для 3-х мерного пространства- 4 грани тетраэдра, удаленные не далее чем на расстояние $\varepsilon$ от покрываемой точки, лежащей внутри тетраэдра? Правильно ли так понимать? И что будет покрытием точки в нульмерном пространстве, само это пространство, т.е. точка?
Благодарю за ответы.

[mihaild]

D'VIL в сообщении #1372991 писал(а):

Видимо если $\varepsilon$- покрытие имеет кратность $n+1$, то пространство имеет топологическую размерность $n$?

Да, так.

D'VIL в сообщении #1372991 писал(а):

просто размерность-это то, что считалось таковой на интуитивном уровне, а топологическая это то же самое, но строго определённое с помощью $\varepsilon$- покрытий?

Просто размерность - это характеристика векторного пространства. Топологическая размерность - характеристика топологического пространства. Для случая вещественного конечномерного пространства (на котором введены и векторная структура, и топология) они совпадают.

D'VIL в сообщении #1372999 писал(а):

для евклидовой плоскости- это будет треугольник, внутри которого ограничена точка и длины сторон которого не превышают $\varepsilon$?

Покрытие должно состоять из открытых множеств. Является ли треугольник на плоскости открытым множеством? А точка на прямой?

[D'VIL]

mihaild в сообщении #1373000 писал(а):

Покрытие должно состоять из открытых множеств. Является ли треугольник на плоскости открытым множеством? А точка на прямой?

Видимо нет, поскольку не включают окрестности своих точек.

Тогда $\varepsilon$ - покрытием точки евклидовой плоскости будет область, ограниченная треугольником, без его границы, внутри которого точка и расстояние от покрываемой точки до любой точки этой области не превышает $\varepsilon$? Для прямой - область, границы которой лежат от покрываемой точки на расстоянии не более чем $\varepsilon$, с исключенными границами? Для 3-х мерного пространства- область, лежащая внутри тетраэдра, каждая точка которой удаленна не далее чем на расстояние $\varepsilon$ от покрываемой точки, лежащей внутри тетраэдра, исключая границы тетраэдра? Если да, то исключение границ- это выкалывание точек из которых они состоят или просто принимаем, что границ нет, но что под этим понимать?

Точку в нульмерном пространстве нельзя покрыть?

[Someone]

D'VIL в сообщении #1372991 писал(а):

Видимо если $\varepsilon$- покрытие имеет кратность $n+1$, то пространство имеет топологическую размерность $n$?

Видимо, имеется в виду метрическая размерность $\mu\dim$. Точное определение такое: для непустого метрического пространства $X$ его метрическая размерность $\mu\dim X\leqslant n$, если для каждого $\varepsilon>0$ существует открытое локально конечное $\varepsilon$-покрытие кратности $\leqslant n+1$; $\mu\dim X=n$, если $n\geqslant 0$ — наименьшее целое число, удовлетворяющее указанному условию; если такого числа $n$ не существует, то $\mu\dim X=\infty$.
Для метрической размерности выполняются неравенства $\mu\dim X\leqslant\dim X\leqslant 2\mu\dim X$.

D'VIL в сообщении #1372971 писал(а):

Как выбирать $\varepsilon$-покрытие точки? Это треугольник, окружающий точку, длины сторон которого устремлены к нулю?

Эти вопросы вызывают у меня жуткое подозрение, что Вы не знаете базовых определений.
Что такое покрытие топологического пространства?
Что такое открытое покрытие?
Что такое локально конечное семейство множеств в топологическом пространстве?
Что такое кратность семейства множеств?
Что такое диаметр множества в метрическом пространстве?
Что такое $\varepsilon$-покрытие метрического пространства?

31.01.2019. Исправил опечатку в определении метрической размерности (кратность покрытия должна быть $\leqslant n+1$, а не $n$).

[D'VIL]

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Эти вопросы вызывают у меня жуткое подозрение, что Вы не знаете базовых определений.

У меня такое же ощущение.

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Что такое покрытие топологического пространства?

Это топологическое пространство, включающее покрываемое?

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Что такое открытое покрытие?

Покрытие, не имеющее границ?

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Что такое локально конечное семейство множеств в топологическом пространстве?

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Что такое диаметр множества в метрическом пространстве?

Вероятно это расстояние, между двумя максимально удаленными точками?

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Что такое $\varepsilon$-покрытие метрического пространства?

Такое локальное открытое множество, диаметр которого не превышает $\varepsilon$ и которое включает покрываемой элемент?

Someone в сообщении #1373002 писал(а):

Что такое кратность семейства множеств?

Ну, это вероятно количество вершин полиэдра, необходимого и достаточного, чтобы включить в него точку. Например для плоскости- это треугольник, 3 вершины, соответственно кратность 3. Для прямой - это отрезок, ограниченный двумя точками, соответственно кратность 2. Для трехмерного пространства-тетраэдр, имеющий 4 вершины, соответственно кратность 4.

Все это я излагаю "как мне кажется", вероятно стоило для начала ознакомиться с этими определениями.
Меня интересовало наглядное объяснение на пальцах, но пальцев видимо не хватит и чувствую придётся все-таки пользоваться определениями, чтобы что-то понять, а так хотелось обойтись
"пальцами".

[mihaild]

Да, посмотрите определения. Среди ваших ответов ни одного правильного.

[D'VIL]

Предлагаю такое определение топологической размерности метрического пространства- это минимальное количество точек, расстояние до которых однозначно определяет местоположение любой точки пространства.

Почему нет?

[mihaild]

Потому что термин "топологическая размерность" итак перегружен. Но вы можете называть эту характеристику "размерностью D'VIL", если хотите.
(но я бы советовал ознакомиться с уже существующими определениями прежде чем придумывать новые)

[Red_Herring]

D'VIL в сообщении #1373011 писал(а):

Почему нет?

Потому что это очень плохое определение (и это очень мягко сказано). Например, чему тогда будет равна размерность плоскости? А замкнутой полуплоскости?

Рассмотрим пространство из $N$ элементов, расстояние между любыми двумя $1$. Тогда чему равна ваша размерность? А топологическая размерность $0$. Но если мы выделим точку в этом пространстве и чуть-чуть поменяем расстояния до нее, чтобы все они были разными, то размерность вдруг станет $1$.

[D'VIL]

Как бы ни разбить пространство на кирпичи, то на плоскости всегда найдётся точка, которая будет принадлежать 3-м кирпичам, а для 3х-мерного пространства всегда найдётся точка, которая будет как минимум принадлежать 4-м кирпичам. Это топологическое свойство пространства, позволяющее отличать континуумы различных размерностей. Примерно такое объяснение топологической размерности по Урысону и еще кому-то встретил в книге Гуревич, Волмен "Теория размерности". Это определение наглядно и интуитивно понятно, но как перейти от него к современному определению через $\varepsilon$ - покрытие? Как перейти от кирпичей к этому покрытию, не потеряв интуитивную понятность и наглядность?

Кстати, если кирпичи уменьшить до размеров почти точки, то получим из них в двумерном случае вершины треугольника, а в трёхмерном - 4 вершины тетраэдра, что интересно, пентахор имеет 5 вершин. И он, следуя логике, должен получаться уменьшением четырёхмерных кирпичей, включающих точку в четырёхмерном пространстве при таком разбиении четырёхмерного пространства, когда количество этих кирпичей (окружающих точку) минимально. Т.е. для определения топологической размерности можно вместо разбиения на кирпичи, пользоваться политопами для окружения точки. Например чтобы окружить точку на плоскости, понадобится как минимум 3 вершины и 3 соединяющих их отрезка, т.е. треугольник, чтобы окружить точку в трехмерном пространстве, потребуется как минимум тетраэдр, имеющий 4 вершины и 4 грани. В четырёхмерном пространстве таким политопом вероятно будет пентахор, образующий границу области 5-ю тетраэдрами и имеющий 5 вершин. На каждом уровне (размерности пространства) размерность границы области такого политопа повышается на 1 и количество политопов, образующих границу, увеличивается на 1 по сравнению с предыдущим уровнем и равно количеству вершин такого политопа.