Интеграл от функции Бесселя

[Agathis]

Кто знает, какой порядок имеет следующий интеграл
\int\limits_{\Gamma}J_\nu\left(\lambda\,\, |x-y|\right) \,\,f(y)\,\,d\sigma

здесь x\in\mathbb{R}^n, J_\nu - функция Бесселя первого рода порядка \nu \Gamma - гладкая поверхность в \mathbb{R}^n, ограничивающая некоторую область,
d\sigma - элемент поверхности, \lambda - большой положительный параметр.
Меня интересует его асимптотическое поведение при \lambda\to\infty.

[Brukvalub]

Попробуй пойми, что за функция f(y), по какой переменной идет интегрирование, и т.д.

[Gafield]

Ну, если область ограничена, а функция $f$ непрерывна, то стремится к нулю. Я думаю (не проверял), интеграл в этом случае можно свести к $$\int_0^\infty J_\nu\left(\lambda r)r^{n-1} g_x(r)\,dr$,
где для каждой фиксированной точки $x$ общего положения функция $g$ линейна по $f$, непрерывна и имеет компактный носитель. Для такого интеграла стремление к нулю довольно очевидно. Скорость стремления, вероятно, как и в случае тригонометрической системы, будет зависеть от гладкости $g_x$.

[Brukvalub]

Как хорошо быть экстрасенсом! Ну почему, почему, я всего лишь Brukvalub, а не Brukvalub-экстрасенсорик???

[Agathis]

f - бесконечно дифференцируемая функция, интегрирование ведется по y.
Да, он стремится к нулю, но мне нужен точный асимптотический порядок, зависящий от размерности n. НапримерO(\lambda^n) или O(\lambda^{\frac{n}{2}}).

[Brukvalub]

Пример: функция f тождественно равна нулю. Исследуйте, какой тогда будет порядок асимптотики? Другой случай: функция f тождественно равна 1. Какой тогда будет порядок? Улавливаете? Ответ неоднозначен и существенно зависит от поведения функции на поверхности. Какого же тогда конкретного ответа Вы ждете?

[Gafield]

Цитата:

Да, он стремится к нулю, но мне нужен точный асимптотический порядок, зависящий от размерности n. Например $ O(\lambda^n) или O(\lambda^{\frac{n}{2}})$.

Пусть $S$ - сфера радиуса $r$с центром $x$. Тогда интеграл будет равен

$$J_\nu(\lambda r)\int_Sf(y)\,d\sigma_y$$

. Асимптотика фукций Бесселя известна - получится $(\lambda r)^{-1/2}$, умноженное на косинус плюс что-то меньшее. Показатель у $\lambda$ от размерности не зависит. Правда, это случай не общего положения.