Глупые вопросы по ЛЛ-1

[follow_the_sun]

И снова я пытаюсь осилить теорфиз. Параллельно ботаю "Начала теоретической физики" Медведева. По порядку:
1.Я не совсем понимаю, вывод функции Лагранжа для мат. точки:

Это ведь разложение в ряд Тейлора по степеням $((\mathbf{v}+\mathbf{\varepsilon})^2-\mathbf{v}^2)$. Возможно дело в моей альтернативной одаренности, но я не понимаю, почему второй член будет полной производной по времени, если зависит от скорости линейно?
2. Логика доказательства положительности массы. Почему для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а потом быстро приближается к 2 интеграл не имел бы минимума?
$S=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{mv^2}{2}dt$
3. Что такое потенциальная энергия? Энергия взаимодействия частиц системы, зависящая только от координат?
4.Где лучше почитать доказательство теоремы Нётер (кроме Медведева)?

[Ascold]

follow_the_sun в сообщении #1371788 писал(а):

2. Логика доказательства положительности массы. Почему для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а потом быстро приближается к 2 интеграл не имел бы минимума?
$S=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{mv^2}{2}dt$
3. Что такое потенциальная энергия? Энергия взаимодействия частиц системы, зависящая только от координат?
4.Где лучше почитать доказательство теоремы Нётер (кроме Медведева)?

На первом вопросе подзавис...
2.Будь масса отрицательной, взяв интеграл вдоль достаточно длинной кривой, соединяющей начальное и конечное положения, его можно было бы сделать сколь угодно малым(отрицательным), т.е. не ограниченным снизу.
3. Потенциальная энергия - то, убыль чего равна работе консервативных сил, $\mathbf{F}=-\operatorname{grad}U,$ $A=-\Delta U$. Будь она функцией ещё и, к примеру, скоростей, работу сил было б невозможно считать независимой от формы траектории, так что остаётся ей быть функцией только координат.
4. А чем Вам не нравится теорема Нётер в ЛЛ1?

[Munin]

Это у вас издание какого года? :-) Я смотрел и в издании 2001, и в издании 1988 - там везде вместо $a$ стоит сразу $m/2.$

[Ms-dos4]

follow_the_sun
Отвечу на первый вопрос. Итак, ЛЛ хотят использовать Галилеевскую инвариантность. Раскладывают они в ряд именно по степеням ${\vec \varepsilon }$. Итак, пусть $L = f({v^2})$. Вопрос сводится к тому, когда добавка $\Delta = 2(\vec v,\vec \varepsilon )f'({v^2})$ является полной производной по времени, ведь именно тогда Галилеевская инвариантность будет работать. Как мы знаем, добавка полной производной по времени не должно ничего менять, поэтому мы может применить уравнения Эйлера-Лагранжа к этой добавке, и результат должен быть равен нулю:

$${d \over {dt}}{{\partial \Delta } \over {\partial \vec v}} - {{\partial \Delta } \over {\partial \vec x}} = 4f''[\vec \varepsilon (\vec a,\vec v) + \vec v(\vec a,\vec \varepsilon ) + \vec a(\vec v,\vec \varepsilon )] + 8f'''\vec v(\vec v,\vec \varepsilon )(\vec a,v) = \vec 0$$

Обратите внимание, абсолютно неважно, выполнены ли ограничения, накладываемые уравнениями движения на входящие сюда параметры, это должно быть верно для любых параметров. Поэтому мы может выбрать их совершенно произвольно. Откуда $f'' = 0$ (при очевидном условии $\vec \varepsilon \ne 0$), что и значит, что $L = f({v^2}) = a{v^2} + b$

[Ascold]

follow_the_sun в сообщении #1371788 писал(а):

2. Логика доказательства положительности массы. Почему для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а потом быстро приближается к 2 интеграл не имел бы минимума?

Добавлю к ответу на этот вопрос, а то вчера я, кажется, быстро написал нечто формальное и не совсем верное. Интегрируем мы лагранжиан по времени, причём начальный и конечный моменты заданы, т.е. какова длина пробной или реальной траектории частицы, не так уж и важно. А вот говоря про скорости ("достаточно быстро") авторы имеют ввиду, что на некоторых участках подынтегральное выражение, пропорциональное $v^2$, а с ним и весь интеграл можно сделать сколь угодно большим по модулю(варьируя траекторию мы меняем и закон движения, а следовательно, и скорость), т.е. в зависимости от знака массы действие будет неограниченным либо сверху, либо снизу.

Кстати, раз уж Вы заинтересовались вариационными принципами в механике, то почитайте Ольховского "Курс теор. механики для физиков", параграфы 23-26 и особенно 51 - там принцип наименьшего действия строится противоположно Ландау - не постулируется, а выводится из второго закона Ньютона и понятия виртуальных перемещений, возможно, это тоже будет интересно.

[follow_the_sun]

Ascold

Ascold в сообщении #1371926 писал(а):

вот говоря про скорости ("достаточно быстро") авторы имеют ввиду, что на некоторых участках подынтегральное выражение, пропорциональное $v^2$, а с ним и весь интеграл можно сделать сколь угодно большим по модулю(варьируя траекторию мы меняем и закон движения, а следовательно, и скорость), т.е. в зависимости от знака массы действие будет неограниченным либо сверху, либо снизу.

Эх, как же я недогадался, просто ведь

Ascold в сообщении #1371819 писал(а):

Потенциальная энергия - то, убыль чего равна работе консервативных сил, $\mathbf{F}=-\operatorname{grad}U,$ $A=-\Delta U$. Будь она функцией ещё и, к примеру, скоростей, работу сил было б невозможно считать независимой от формы траектории, так что остаётся ей быть функцией только координат.

И из опыта следует, что вз-е частиц системы можно описать функцией от координат?

Ascold в сообщении #1371819 писал(а):

4. А чем Вам не нравится теорема Нётер в ЛЛ1?

хотелось бы большей общности
Ms-dos4
$\Delta = 2(\vec v,\vec \varepsilon )f'({v^2})$
штрих - это ведь производная по $v^2$ ? А дальше просто дифференцируем по времени и скорости? (извините, я даун)
Munin

Munin в сообщении #1371848 писал(а):

Это у вас издание какого года?

У меня есть бумажное 4. А то, что я процитировал - первая выдача по запросу "ладнау лифшиц" 1. Судя по всему 3-е.

Ascold в сообщении #1371926 писал(а):

Кстати, раз уж Вы заинтересовались вариационными принципами в механике, то почитайте Ольховского "Курс теор. механики для физиков", параграфы 23-26 и особенно 51 - там принцип наименьшего действия строится противоположно Ландау - не постулируется, а выводится из второго закона Ньютона и понятия виртуальных перемещений, возможно, это тоже будет интересно.

Спасибо, почитаю.Насколько я знаю, такой вывод из законов Ньютона - ньютонов формализм, а из ПНД -Лагранжев. У нас в учебнике (Колесников "Курс теоретической механики") выводят ур-я Эйлера-Лагранжа из общего уравнения динамики. У меня уже есть "Вариационное исчисление" Эльсгольца, "Математика для физиков" Иванова и Мартышко. Просто сейчас буду еще повышать оценки по паре предметов, не знаю что будет со временем)

[Ms-dos4]

follow_the_sun
1)Да, $f'({v^2}) = {{df} \over {d{v^2}}}$. Про дифференцирование по времени и скорости не очень понял, далее мы берём оператор $({d \over {dt}}{\partial \over {\partial \vec v}} - {\partial \over {\partial \vec x}})$ от всей $\Delta $, проводя соответствующие дифференцирования (частные и полные).
2)Потенциал в принципе можно сделать зависящим от скоростей, например для описания силы Лоренца. И о всём об этом написано далее, если не нравится изложение ЛЛ, а нужно что-то более "приземлённое" - берите Голдстейна.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Ms-dos4, что про Ольховского скажете?

[Ms-dos4]

StaticZero

(Оффтоп)

Ольховского не читал, я учился по ЛЛ+Арнольд, также читал Голдстейна

[follow_the_sun]

Ms-dos4
А можно поподробнее, как вы получили это выражение? Что такое $\vec a$?

$${d \over {dt}}{{\partial \Delta } \over {\partial \vec v}} - {{\partial \Delta } \over {\partial \vec x}} = 4f''[\vec \varepsilon (\vec a,\vec v) + \vec v(\vec a,\vec \varepsilon ) + \vec a(\vec v,\vec \varepsilon )] + 8f'''\vec v(\vec v,\vec \varepsilon )(\vec a,v) = \vec 0$$

-- 28.01.2019, 18:13 --

Ms-dos4 в сообщении #1372260 писал(а):

для описания силы Лоренца

Вывод ур-й Максвелла из ПНД?

[follow_the_sun]

Ascold

Ascold в сообщении #1371819 писал(а):

. Потенциальная энергия - то, убыль чего равна работе консервативных сил, $\mathbf{F}=-\operatorname{grad}U,$

Там это потом выводится (стр. 20 в 4-м издании). Судя по всему, зависимость пот. энергии лишь от координат следует из предположения о мгновенном распространении взаимодействий.

[Munin]

На самом деле, это рукомашество, и реально там ничего не следует. См. другие учебники по теормеханике.

[Ms-dos4]

follow_the_sun
1)$\vec a$ есть ускорение
2)При чём тут уравнения Максвелла? Вам пока рано думать о полевых уравнениях, разберитесь с "простой" механикой. Имелось ввиду, что если вы хотите получить правильное выражение для силы Лоренца, в этом формализме вам придётся ввести $U(\vec q,\dot \vec q)$. Там правда будут нюансы (например обобщённые импульсы).
3)

follow_the_sun в сообщении #1372465 писал(а):

Ascold
Судя по всему, зависимость пот. энергии лишь от координат следует из предположения о мгновенном распространении взаимодействий.

Всё куда сложнее. Когда у вас есть конечная скорость распространения взаимодействий, поле нужно рассматривать как систему со своими степенями свободы. Поэтому в данном случае вы НЕ можете описать систему только через координаты/скорости самих частиц (это возможно лишь приближённо), поэтому говорить о функции Лагранжа только ЧАСТИЦ в такой ситуации вообще некорректно.

[follow_the_sun]

Ms-dos4

Ms-dos4 в сообщении #1372477 писал(а):

функции Лагранжа только ЧАСТИЦ

Надо рассматривать функцию Лагранжа поля (с бесконечным числом степеней свободы)?
Munin

Munin в сообщении #1372471 писал(а):

См. другие учебники по теормеханике.

Где вы посоветуете посмотреть?
5.Разбираемся с теоремой Нётер (Медведев "Начала теоретической физики" стр.33)


Однопараметрическая группа- преобразование, зависящее от одного параметра, удовл. аксиомам группы? Как надо понимать выражение справа от знака равенства? $\Lambda(\lambda_2)\Lambda(\lambda_1)=\Lambda(\lambda_3,(\lambda_1,\lambda_2))$.

[Ascold]

follow_the_sun в сообщении #1372824 писал(а):

Однопараметрическая группа- преобразование, зависящее от одного параметра, удовл. аксиомам группы? Как надо понимать выражение справа от знака равенства? $\Lambda(\lambda_2)\Lambda(\lambda_1)=\Lambda(\lambda_3,(\lambda_1,\lambda_2))$.

Мне кажется, что когда есть сомнения в абстрактных обозначениях, надо рассмотреть пример. Пусть у нас в плоскости можно вращать систему координат(или её не вращать, а вращать радиус-вектор вокруг её начала - с точностью до направления без разницы). Тогда компоненты радиус-вектора будут преобразовываться по известному закону

$$x=x'\cos(\varphi)-y'\sin(\varphi),$$

$$y=y'\cos(\varphi)+x'\sin(\varphi),$$

что можно оформить в матричном виде

$$X=A\cdot X',$$

где $A=A(\varphi)$ - матрица преобразования координат, задающее однопараметрическое (от параметра фи) преобразование.
Несложно убедиться, что такие повороты образуют группу, а матрицы - её представление с групповым законом в виде произведения. Если Вы совершите два последовательных поворота на $\varphi_1$ и $\varphi_2,$ то их можно заменить одним поворотом на угол $\varphi_3=\varphi_1+\varphi_2$ - это по Медведеву будет частным случаем $\lambda_3=\lambda_3(\lambda_1,\lambda_2).$
В общем случае закон $\lambda_3=\lambda_3(\lambda_1,\lambda_2)$ не обязательно будет сложением: например, если параметризовать в теории относительности преобразования Лоренца скоростями, то они не складываются.