Система квадратных уравнений с коэффицентами из {0,1}

[Enoid]

Помогите разобраться, как решать. Есть некоторой число квадратных уравнений от n вещественных переменных, в каждом уравнении каждое слагаемое - степени 2. Число уравнений может быть как больше, так и меньше n (но она заведомо меньше 2^n) Коэффициенты в системе из {0,1}.
Подскажите пожалуйста, как решать такую систему, или какую-нибудь литературу на эту тему. Есть ли какое-нибудь понятие "линейной зависимости" квадратных уравнений?
Вообще говоря, цель - сказать, когда есть решение, когда его нет, искать его не требуется.
Задача возникла из комбинаторной постановки, но, похоже, уже имеет мало общего с комбинаторикой).

[maxal]

Ну во-первых, если в системе "каждое слагаемое - степени 2", то заменяя эти слагаемые на новые переменные, получаем обычную систему линейных уравнений, которую можно решить стандартными методами, а затем извлечь из решения квадратные корни, чтобы получить решение исходной системы.

Во-вторых, если "задача возникла из комбинаторной постановки", то непонятно, как в ней могли возникнуть вещественные переменные. Обычно кобинаторные задачи сводятся к системам с целочисленными или же рациональными переменными.

В третьих, целесообразно изложить постановку исходной комбинаторной задачи. Может быть, у вашей системы есть какие-то особые свойства, которые помогут ее решить или свести решение к классическим задачам.

[Enoid]

Заменять на другие перменные нельзя, так как там есть все слагаемые степени 2 (x*y, y*z - тоже слагаемые второй степени, а не только квадраты).
Эти вещественные числа - коэффициенты в разложении вещественнозначной булевой функции по некоторому базису. Затем эта функция возводится в квадрат, и двумя способами считаются её коэффициенты (базис ортонормированный).
Исходная постановка задачи едва ли что добавит к озвученной задаче, тем более я хотел узнать, есть ли какие-то общие подходы к такого рода системам.

[maxal]

Ну в общем виде такие задачи можно решать через базисы Грёбнера (если нужно точное решение). См., например, тут (в частности, раздел "Solving Systems").

[maxal]

Вот здесь больше ссылок, в том числе и на готовые программы для решения систем полиномиальных уравнений:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13448

[Enoid]

Снова здравствуйте!
Как выяснилось, исходная система свелась к следующей задаче: f: R^n -> R^n; причём f(a*x) = a*a*f(x) для всех a из R, x из R^n.
Требуется найти неподвижные точки функции f, то есть такие, что f(x)=x. Помогите, кто разбирается).

[Enoid]

Добрый день! Пишу итоговую систему уравнений без всяких обобщений. В этой системе 15+15+1 уравнений. Её свойства таковы, что каждое парное произведение встречается ровно один раз. Я пытался решать эту систему в Mathematica (с помощью процедуры Reduce, так как solve - зависает) и в Maple (с помощью PolynomialSystem, solve тоже зависает). В итоге решения они нашли, причём достаточно быстро. Решения таковы: 1) все переменные принимают значения из {1/2, -1.2} таким образом, чтобы удовлетворять вторым 15 уравнениям, тогда r=15/4. 2) Только три переменных принимают значения из {1/2, -1.2}, а остальные - 0, тогда единственная возможность r=3/4. По сути, мне надо понять, как найдены эти решения (или хотя бы, как получено уранение на r). Такое впечатление, что это делается буквально парой-тройкой верных подстановок, так как решения программами находятся быстро. Из этих программ я этого извлечь не смог, можно ли это сделать? Или возможно, эту систему можно упростить методом пристального взгляда?). Прошу помочь.


$ \left\{ \begin{array}{l} \[ x_1 = 2\cdot \left( {x_{10} \cdot x_{15} + x_{11} \cdot x_{14} + x_{12} \cdot x_{13} } \right), \] \[ x_2 = 2\cdot \left( {x_7 \cdot x_{15} + x_8 \cdot x_{14} + x_9 \cdot x_{13} } \right), \] \[ x_3 = 2\cdot \left( {x_6 \cdot x_{15} + x_8 \cdot x_{12} + x_9 \cdot x_{11} } \right), \] \[ x_4 = 2\cdot \left( {x_6 \cdot x_{14} + x_7 \cdot x_{12} + x_9 \cdot x_{10} } \right), \] \[ x_5 = 2\cdot \left( {x_6 \cdot x_{13} + x_7 \cdot x_{11} + x_8 \cdot x_{10} } \right), \] \[ x_6 = 2\cdot \left( {x_3 \cdot x_{15} + x_4 \cdot x_{14} + x_5 \cdot x_{13} } \right), \] \[ x_7 = 2\cdot \left( {x_2 \cdot x_{15} + x_4 \cdot x_{12} + x_5 \cdot x_{11} } \right), \] \[ x_8 = 2\cdot \left( {x_2 \cdot x_{14} + x_3 \cdot x_{12} + x_5 \cdot x_{10} } \right), \] \[ x_9 = 2\cdot \left( {x_2 \cdot x_{13} + x_3 \cdot x_{11} + x_4 \cdot x_{10} } \right), \] \[ x_{10} = 2\cdot \left( {x_1 \cdot x_{15} + x_4 \cdot x_9 + x_5 \cdot x_8 } \right), \] \[ x_{11} = 2\cdot \left( {x_1 \cdot x_{14} + x_3 \cdot x_9 + x_5 \cdot x_7 } \right), \] \[ x_{12} = 2\cdot \left( {x_1 \cdot x_{13} + x_3 \cdot x_8 + x_4 \cdot x_7 } \right), \] \[ x_{13} = 2\cdot \left( {x_1 \cdot x_{12} + x_2 \cdot x_9 + x_5 \cdot x_6 } \right), \] \[ x_{14} = 2\cdot \left( {x_1 \cdot x_{11} + x_2 \cdot x_8 + x_4 \cdot x_6 } \right), \] \[ x_{15} = 2\cdot \left( {x_1 \cdot x_{10} + x_2 \cdot x_7 + x_3 \cdot x_6 } \right), \] \[ x_2 \cdot x_6 + x_3 \cdot x_7 + x_4 \cdot x_8 + x_5 \cdot x_9 = 0, \] \[ x_1 \cdot x_6 + x_3 \cdot x_{10} + x_4 \cdot x_{11} + x_5 \cdot x_{12} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_7 + x_2 \cdot x_{10} + x_4 \cdot x_{13} + x_5 \cdot x_{14} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_8 + x_2 \cdot x_{11} + x_3 \cdot x_{13} + x_5 \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_9 + x_2 \cdot x_{12} + x_3 \cdot x_{14} + x_4 \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_2 + x_7 \cdot x_{10} + x_8 \cdot x_{11} + x_9 \cdot x_{12} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_3 + x_6 \cdot x_{10} + x_8 \cdot x_{13} + x_9 \cdot x_{14} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_4 + x_6 \cdot x_{11} + x_7 \cdot x_{13} + x_9 \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_1 \cdot x_5 + x_6 \cdot x_{12} + x_7 \cdot x_{14} + x_8 \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_2 \cdot x_3 + x_6 \cdot x_7 + x_{11} \cdot x_{13} + x_{12} \cdot x_{14} = 0, \] \[ x_2 \cdot x_4 + x_6 \cdot x_8 + x_{10} \cdot x_{13} + x_{12} \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_2 \cdot x_5 + x_6 \cdot x_9 + x_{10} \cdot x_{14} + x_{11} \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_3 \cdot x_4 + x_7 \cdot x_8 + x_{10} \cdot x_{11} + x_{14} \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_3 \cdot x_5 + x_7 \cdot x_9 + x_{10} \cdot x_{12} + x_{13} \cdot x_{15} = 0, \] \[ x_4 \cdot x_5 + x_8 \cdot x_9 + x_{11} \cdot x_{12} + x_{13} \cdot x_{14} = 0, \] \[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2 + x_8^2 + x_9^2 + x_{10}^2 + x_{11}^2 + x_{12}^2 + x_{13}^2 + x_{14}^2 + x_{15}^2 = r \] \end{array} \right. $

[maxal]

Enoid писал(а):

Такое впечатление, что это делается буквально парой-тройкой верных подстановок, так как решения программами находятся быстро.

Вряд ли мапл ищет пару-тройку "верных" подстановок. Есть общий аппарат решения систем полиномиальных уравнений (см. выше ссылку на базисы Грёбнера), который он и применяет для решения этой или любой другой системы.