Заинтересовала меня тут одна функция. Она является решением вот этого уравнения:
Её график (чёрным):
Она практически линейна при отрицательных значениях аргумента и очень похожа на логарифм при положительных. Поэтому я обзываю её линейный логарифм и обозначаю
. Эта функция позволяет решать уравнение
которое возникает при использовании формулы Шокли для честного обсчёта схем с диодом. Решением будет:
Это же уравнение можно решить и с помощью W-функции Ламберта-Эйлера, и вообще, одна функция выражается через другую:
Однако, для решения уравнения выше через W-функцию Ламберта нужно сначала брать экспоненту от аргумента, а потом вычислять логарифмоподобную W-функцию от этой экспоненты. Если аргумент будет слишком большой, то наступит переполнение числа с плавающей точкой. Ну и линейный логарифм ведёт себя хорошо на всей действительной оси. Плюс в MATLABе нет W-функции Ламберта, поэтому чем реализовывать проблематичную функцию, лучше сразу реализовать ту, что нужно.
Для расчёта значений функции я не смог придумать ничего лучше следующего. Взять начальное приближение
где
и затем применить три итерации метода Ньютона:
После этого значения приближений в пределах ошибок округления находятся вблизи реальных значений функции. Однако, "шум" ошибок округления при больших положительных значениях аргумента значительно больше того, чего бы мне хотелось.
Производная и интеграл обратной функции:
При изучении значения функции обычно её раскладывают в ряд Тейлора в какой-нибудь хорошей точке. Я тоже так попытался сделать:
Однако дальше этот ряд продлевать весьма проблематично. Формула обращения ряда настоящая жесть, которая вряд ли применима для практического счёта, а расчёт производных в лоб даёт нарастающие по сложности полиномы:
Усмотреть закономерность в коэффициентах этих полиномов пока не получилось. Плюс, если даже получится, надо будет эти коэффициенты просуммировать для
, чтобы получить ответ в общем виде.
Однако уже с этими членами ряда можно найти значение функции в нуле с точностью 5 значащих цифр. Это постоянная Омега с обратным знаком (что бы эта постоянная не обозначала):
Казалось бы сходимость ряда очень быстрая, но не такая быстрая как у экспоненты (хотя гораздо лучше, чем у логарифма). Об ограниченности круга сходимости можно догадаться, если задуматься, однолистна ли функция в комплексной плоскости. Если по-внимательней рассмотреть уравнение
, можно понять, что это не так. То есть функция должна иметь где-то на комплексной плоскости особые точки — точки ветвления. Я попытался просчитать значения функции в комплексной плоскости численно с помощью метода Ньютона, двигаясь по чуть-чуть от действительной оси в сторону положительного направления мнимой оси. Начальными приближениями в методе Ньютона для следующего значения мнимой части аргументов становились значения функции для предыдущего значения мнимой части аргумента. Получились такие картинки:
(Действительная часть)
(Мнимая часть)
Очень похоже на то, что точками ветвления являются точки
.
В связи с проделанным возникает куча вопросов. Например, не изучена ли эта функция кем-нибудь давным давно и не дано ли ней какое-нибудь название? Я понимаю, что уже есть W-функция Ламберта-Эйлера, и не стоит плодить сущности без необходимости, но всё же. Может быть и разложение в ряд Тейлора в общем виде есть? Как вообще рассчитывают значения специальной функции в произвольной точке комплексной плоскости? Как строго доказать положение точек ветвления?